giúp mình với

Câu 1. a) Giao tuyến của (SAC) và (SAD) là đường thẳng SA. - Vì cả hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) đều chứa điểm S và A, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SA. b) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng SE. - Vì cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) đều chứa điểm S và E, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SE. c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song cạnh CD. - Vì cả hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) đều chứa điểm S, và đường thẳng d đi qua S và song song cạnh CD, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d. d) Giao tuyến của (SAB) và (SFC) là đường thẳng d' đi qua S và song song cạnh CD. - Vì cả hai mặt phẳng (SAB) và (SFC) đều chứa điểm S, và đường thẳng d' đi qua S và song song cạnh CD, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d'. Đáp án: a) SA; b) SE; c) d; d) d'. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu Cỡ mẫu của mẫu số liệu là tổng số lượng các quan sát trong mẫu. Trong trường hợp này, chúng ta có 100 chiếc xe, do đó: \[ n = 100 \] Bước 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là giá trị chia dãy số thành phần dưới 25% và phần trên 75%. Để tìm $Q_1$, chúng ta cần xác định vị trí của nó trong dãy số. Vị trí của $Q_1$ là: \[ \frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25 \] Chúng ta sẽ tìm giá trị ở vị trí thứ 25 trong dãy số. Dãy số được sắp xếp như sau: - Nhóm [1;2] có 17 xe - Nhóm [3;4] có 33 xe - Nhóm [5;6] có 25 xe - Nhóm [7;8] có 20 xe - Nhóm [9;10] có 5 xe Vị trí thứ 25 nằm trong nhóm [3;4]. Do đó, $Q_1$ sẽ là giá trị trung bình của khoảng này: \[ Q_1 \approx 3 + \frac{(25 - 17)}{33} \times (4 - 3) = 3 + \frac{8}{33} \approx 3,24 \] Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ hai ($Q_2$) Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$) là giá trị chia dãy số thành phần dưới 50% và phần trên 50%, tức là giá trị trung vị của dãy số. Vị trí của $Q_2$ là: \[ \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50 \] Chúng ta sẽ tìm giá trị ở vị trí thứ 50 trong dãy số. Vị trí thứ 50 nằm trong nhóm [5;6]. Do đó, $Q_2$ sẽ là giá trị trung bình của khoảng này: \[ Q_2 \approx 5 + \frac{(50 - 40)}{25} \times (6 - 5) = 5 + \frac{10}{25} = 5 + 0,4 = 5,4 \] Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là giá trị chia dãy số thành phần dưới 75% và phần trên 25%. Vị trí của $Q_3$ là: \[ \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \] Chúng ta sẽ tìm giá trị ở vị trí thứ 75 trong dãy số. Vị trí thứ 75 nằm trong nhóm [7;8]. Do đó, $Q_3$ sẽ là giá trị trung bình của khoảng này: \[ Q_3 \approx 7 + \frac{(75 - 70)}{20} \times (8 - 7) = 7 + \frac{5}{20} = 7 + 0,25 = 7,25 \] Kết luận a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \( n = 100 \). b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \( Q_1 \approx 3,24 \). c) Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là: \( Q_2 = 5,4 \). d) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \( Q_3 = 7,25 \). Câu 1. Để tìm giới hạn của dãy số $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1-2n}{n-3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho n để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1-2n}{n-3} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{n}-2}{1-\frac{3}{n}}. \] Bước 2: Xét giới hạn của các phân số trong biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n} = 0 \quad \text{và} \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3}{n} = 0. \] Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức đã chia: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{n}-2}{1-\frac{3}{n}} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2. \] Vậy, giới hạn của dãy số là: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1-2n}{n-3} = -2. \] Câu 2. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt{x}$ có nghĩa khi $x \geq 0$. - Biểu thức $x - 1$ khác 0 khi $x \neq 1$. Do đó, ĐKXĐ của biểu thức là $x \geq 0$ và $x \neq 1$. Bước 2: Rút gọn biểu thức Ta nhận thấy rằng $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$, do đó ta có thể nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x} + 1$ để rút gọn biểu thức: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Bước 3: Tính giới hạn Bây giờ, ta tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn khi $x$ tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Vậy, giới hạn của biểu thức $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ là $\frac{1}{2}$. Đáp số: $\frac{1}{2}$ Câu 1. a) Tìm giới hạn của $\lim_{n\rightarrow-\infty}(-2n^3-n^2+3n+2)$ - Ta xét giới hạn của mỗi hạng tử: - $\lim_{n\rightarrow-\infty}(-2n^3) = +\infty$ vì $n^3$ tiến đến $-\infty$ và nhân với $-2$ sẽ tiến đến $+\infty$. - $\lim_{n\rightarrow-\infty}(-n^2) = +\infty$ vì $n^2$ tiến đến $+\infty$ và nhân với $-1$ sẽ tiến đến $-\infty$, nhưng do $n^2$ tăng nhanh hơn $n^3$, nên phần này không ảnh hưởng nhiều đến giới hạn tổng. - $\lim_{n\rightarrow-\infty}(3n) = -\infty$ vì $n$ tiến đến $-\infty$ và nhân với $3$ sẽ tiến đến $-\infty$. - $\lim_{n\rightarrow-\infty}(2) = 2$ là hằng số. - Kết hợp lại ta có: \[ \lim_{n\rightarrow-\infty}(-2n^3-n^2+3n+2) = +\infty \] b) Tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2}{1+2x}$ - Thay $x = 3$ vào biểu thức: \[ \lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2}{1+2x} = \frac{3^2}{1+2(3)} = \frac{9}{1+6} = \frac{9}{7} \] Vậy: a) $\lim_{n\rightarrow-\infty}(-2n^3-n^2+3n+2) = +\infty$ b) $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2}{1+2x} = \frac{9}{7}$ Câu 2: Trước tiên, ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán theo yêu cầu. Phần a: Chứng minh \( MN // (SBC) \) 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \( M \) là trung điểm của \( SA \). - \( N \) là trung điểm của \( SD \). - \( O \) là tâm của hình bình hành \( ABCD \). 2. Chứng minh \( MN // BC \): - Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( SA \) và \( SD \), nên theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có: \[ MN // AD \] - Mặt khác, vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có: \[ AD // BC \] - Từ đó suy ra: \[ MN // BC \] 3. Kết luận: - Vì \( MN // BC \) và \( MN \) nằm ngoài mặt phẳng \( (SBC) \), nên \( MN // (SBC) \). Phần b: Chứng minh \( (OMN) // (SBC) \) 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \( O \) là tâm của hình bình hành \( ABCD \). - \( M \) là trung điểm của \( SA \). - \( N \) là trung điểm của \( SD \). 2. Chứng minh \( OM // SB \): - Vì \( O \) là tâm của hình bình hành \( ABCD \), nên \( O \) là trung điểm của cả hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). - \( M \) là trung điểm của \( SA \), do đó \( OM \) là đường trung bình của tam giác \( SAD \). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ OM // SD \] - Mặt khác, vì \( S \) là đỉnh của chóp và \( D \) là đỉnh của đáy, ta có: \[ SD // SB \] - Từ đó suy ra: \[ OM // SB \] 3. Chứng minh \( ON // SC \): - \( N \) là trung điểm của \( SD \), do đó \( ON \) là đường trung bình của tam giác \( SDC \). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ ON // SC \] 4. Kết luận: - Vì \( OM // SB \) và \( ON // SC \), và cả hai đường thẳng này đều nằm trong mặt phẳng \( (OMN) \), nên mặt phẳng \( (OMN) \) song song với mặt phẳng \( (SBC) \). Đáp số: a) \( MN // (SBC) \) b) \( (OMN) // (SBC) \)