Giúp mình vs

Câu 13: a) Tập hợp A có 4 phần tử: A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 11. Các số nguyên tố nhỏ hơn 11 là 2, 3, 5, 7. Do đó, tập hợp A có 4 phần tử. b) Tập hợp B có 3 phần tử: B = {x ∈ i | 3x^2 - 4x + 1 = 0} Ta giải phương trình 3x^2 - 4x + 1 = 0: Tính Δ = (-4)^2 - 4 × 3 × 1 = 16 - 12 = 4 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (4 + √4) / (2 × 3) = (4 + 2) / 6 = 1 x2 = (4 - √4) / (2 × 3) = (4 - 2) / 6 = 1/3 Do đó, tập hợp B có 2 phần tử: 1 và 1/3. c) Tập hợp C có 3 phần tử: C = {x ∈ Y | (x^2 - 5x + 6)(2x + 1) = 0} Ta giải phương trình (x^2 - 5x + 6)(2x + 1) = 0: Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tố bằng 0. - Giải phương trình x^2 - 5x + 6 = 0: Tính Δ = (-5)^2 - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (5 + √1) / (2 × 1) = (5 + 1) / 2 = 3 x2 = (5 - √1) / (2 × 1) = (5 - 1) / 2 = 2 - Giải phương trình 2x + 1 = 0: 2x = -1 x = -1/2 Do đó, tập hợp C có 3 phần tử: 2, 3 và -1/2. d) Tập hợp D có 3 phần tử: D = {x ∈ Z | |x + 1| < 3} Ta giải bất phương trình |x + 1| < 3: - Nếu x + 1 ≥ 0, ta có x + 1 < 3, suy ra x < 2. - Nếu x + 1 < 0, ta có -(x + 1) < 3, suy ra -x - 1 < 3, suy ra -x < 4, suy ra x > -4. Do đó, tập hợp D có các phần tử thỏa mãn -4 < x < 2. Các số nguyên trong khoảng này là -3, -2, -1, 0, 1. Vậy tập hợp D có 5 phần tử. Kết luận: a) Tập hợp A có 4 phần tử. b) Tập hợp B có 2 phần tử. c) Tập hợp C có 3 phần tử. d) Tập hợp D có 5 phần tử. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính toán từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp (R) Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác Heron: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 9 + 12}{2} = 14 \] Diện tích tam giác \( S \) theo công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)} = \sqrt{14 \times 7 \times 5 \times 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt{5} \] Bán kính ngoại tiếp \( R \) theo công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{7 \times 9 \times 12}{4 \times 14\sqrt{5}} = \frac{756}{56\sqrt{5}} = \frac{13.5}{\sqrt{5}} = \frac{13.5 \times \sqrt{5}}{5} = \frac{27\sqrt{5}}{10} \] Bước 2: Tính bán kính nội tiếp (r) Bán kính nội tiếp \( r \) theo công thức: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{14\sqrt{5}}{14} = \sqrt{5} \] Kết luận: - \( p = 14 \) (đúng) - \( S = 14\sqrt{5} \) (không đúng vì trong đề bài là \( 13\sqrt{5} \)) - \( R = \frac{27\sqrt{5}}{10} \) (không đúng vì trong đề bài là \( \frac{7\sqrt{5}}{10} \)) - \( r = \sqrt{5} \) (không đúng vì trong đề bài là \( \sqrt{3} \)) Do đó, đáp án đúng là: a) \( p = 14 \) Đáp số: a) \( p = 14 \) Câu 15: a) Ta kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không bằng cách tính diện tích tam giác ABC. Nếu diện tích bằng 0 thì ba điểm thẳng hàng, ngược lại thì không thẳng hàng. Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -2(-2-5) + (-4)(5-5) + 1(5+2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2(-7) + (-4)(0) + 1(7) \right| = \frac{1}{2} \left| 14 + 0 + 7 \right| = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5 \] Vì diện tích tam giác ABC không bằng 0, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \[ G_x = \frac{-2 + (-4) + 1}{3} = \frac{-5}{3} \] \[ G_y = \frac{5 + (-2) + 5}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy tọa độ trọng tâm G là \( G \left( -\frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right) \). c) Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (-4 - (-2), -2 - 5) = (-2, -7) \] Tính \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = (x_D - 1, y_D - 5) \] Để \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ x_D - 1 = -2 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ y_D - 5 = -7 \Rightarrow y_D = -2 \] Vậy tọa độ điểm D là \( D(-1, -2) \). d) Ta kiểm tra góc ACB bằng cách tính vectơ \(\overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{CB}\), sau đó tính cos của góc giữa chúng. Tính \(\overrightarrow{CA}\): \[ \overrightarrow{CA} = (-2 - 1, 5 - 5) = (-3, 0) \] Tính \(\overrightarrow{CB}\): \[ \overrightarrow{CB} = (-4 - 1, -2 - 5) = (-5, -7) \] Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\): \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3)(-5) + (0)(-7) = 15 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3 \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \] Tính cos góc ACB: \[ \cos(\angle ACB) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|} = \frac{15}{3 \sqrt{74}} = \frac{5}{\sqrt{74}} \] Vì \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\frac{5}{\sqrt{74}} \neq \frac{1}{\sqrt{2}}\), nên góc ACB không bằng 45°. Kết luận: a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \( G \left( -\frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right) \). c) Tọa độ điểm D là \( D(-1, -2) \). d) Góc ACB không bằng 45°. Câu 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a) Tọa độ đỉnh của parabol: Hàm số đã cho là \( y = x^2 + 2x \). Để tìm tọa độ đỉnh của parabol, ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \): - Tọa độ đỉnh \( I \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \). Trong hàm số \( y = x^2 + 2x \), ta có \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = 0 \). Tọa độ đỉnh \( I \): \[ x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] \[ y_I = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \( I(-1, -1) \). b) Bảng biến thiên: Ta vẽ bảng biến thiên của hàm số \( y = x^2 + 2x \): | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( +\infty \) | |---------|---------------|----------|---------------| | \( y' \)| \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( y \) | \( +\infty \) | \( -1 \) | \( +\infty \) | c) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số \( y = x^2 + 2x \) là một hàm bậc hai, có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \). Do đó, parabol này mở rộng lên trên. - Parabol này đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \( I(-1, -1) \). Do đó: - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, +\infty) \). Kết luận: - Tọa độ đỉnh của parabol là \( I(-1, -1) \). - Bảng biến thiên đã được vẽ. - Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \( (-1, +\infty) \) và nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \).