Hâhjakzndbx Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho $A(2;-1;1);B(-1;2;3).$,a) Tính $\widehat{AOB}$,b) Tính độ dài đường trung tuyến OM của tam giác OAB $(0;1;0)$,c) Tìm điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ACB vuông tại C . $D(-7;5;0)$,d) Gọi D là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $BD//OA.$ Tính $BC.$,e) Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $AE^2-2BE^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị,lớn nhất đó.

Question

Accepted Answer

Câu 14:
a) Tính $\widehat{AOB}$

$\overrightarrow{OA}=(2;-1;1)$

$\overrightarrow{OB}=(-1;2;3)$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-2-2+3=-1$

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{6}$

$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{14}$

$\cos \widehat{AOB}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|}=\frac{-1}{\sqrt{6}	imes \sqrt{14}}=\frac{-1}{2\sqrt{21}}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\arccos (\frac{-1}{2\sqrt{21}})$

b) Tính độ dài đường trung tuyến OM của tam giác OAB 

M là trung điểm của AB nên M có tọa độ là $(\frac{1}{2};\frac{1}{2};2)$

$OM=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+2^2}=\frac{\sqrt{18}}{2}$

c) Tìm điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ACB vuông tại C . 

C thuộc trục tung nên C có tọa độ là $(0;y;0)$

$\overrightarrow{CA}=(-2;-y-1;1)$

$\overrightarrow{CB}=(-1;2-y;3)$

Tam giác ACB vuông tại C nên $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$

$\Rightarrow 2-(2-y)(y+1)+3=0$

$\Rightarrow y^2+y+3=0$

Phương trình này vô nghiệm nên không tồn tại điểm C thuộc trục tung thỏa mãn điều kiện đề bài.

d) Gọi D là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $BD//OA.$ Tính $BC.$

D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên D có tọa độ là $(x;y;0)$

$\overrightarrow{BD}=(x+1;y-2;-3)$

$BD//OA$ nên $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{-3}{1}$

$\Rightarrow x=-7;y=5$

D có tọa độ là $(-7;5;0)$

$BC=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{14}$

e) Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $AE^2-2BE^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

E thuộc mặt phẳng (Oyz) nên E có tọa độ là $(0;y;z)$

$AE^2-2BE^2=(0-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-2[(0+1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2]$

$=y^2+2y+1+z^2-2z+1-2(y^2-4y+4+z^2-6z+9)$

$=-y^2+10y-z^2+10z-24$

$=-(y^2-10y+z^2-10z)+24$

$=-(y-5)^2-(z-5)^2+49$

Ta thấy $-(y-5)^2-(z-5)^2+49$ đạt giá trị lớn nhất bằng 49 khi $y=z=5$

Vậy giá trị lớn nhất của $AE^2-2BE^2$ là 49, đạt được khi E có tọa độ là $(0;5;5)$