giải giúp mình với Ngày .....đháng .....năm .....,1| Tính giới hạn hàm số sau,$1)~\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1};2/~\lim_{x\rightarrow-2}(\frac13x^3+2x-1)$,$3)~\lim_{x\rightarrow7}\frac{x-7}{x+2}-3}\frac{4/\lim_{x\rightarrow+\infty}(x^3+3x^2-2x)$,$5/~\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3+3x^2-2x+1}{x^2+1};6/\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x+1)(x^2-3)}{x^3+1}$,$7)~\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{3x-2};8)~\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+8x}+x)$

Question

giải  giúp mình với Ngày .....đháng .....năm .....,1| Tính giới hạn hàm số sau,$1)~\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1};2/~\lim_{x\rightarrow-2}(\frac13x^3+2x-1)$,$3)~\lim_{x\rightarrow7}\frac{x-7}{x+2}-3}\frac{4/\lim_{x\rightarrow+\infty}(x^3+3x^2-2x)$,$5/~\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3+3x^2-2x+1}{x^2+1};6/\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x+1)(x^2-3)}{x^3+1}$,$7)~\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{3x-2};8)~\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+8x}+x)$

Accepted Answer

1) Ta có:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}
$$
Phân tích mẫu thức:
$$
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
$$
Do đó:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 1 + 2 = 3
$$

2) Ta có:
$$
\lim_{x \to -2} \left( \frac{1}{3}x^3 + 2x - 1 \right)
$$
Thay $ x = -2 $:
$$
\frac{1}{3}(-2)^3 + 2(-2) - 1 = \frac{1}{3}(-8) - 4 - 1 = -\frac{8}{3} - 4 - 1 = -\frac{8}{3} - \frac{12}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{23}{3}
$$

3) Ta có:
$$
\lim_{x \to 7} \frac{x - 7}{\sqrt{x + 2} - 3}
$$
Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x + 2} + 3$:
$$
\lim_{x \to 7} \frac{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)}{(\sqrt{x + 2} - 3)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \lim_{x \to 7} \frac{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)}{x + 2 - 9} = \lim_{x \to 7} \frac{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)}{x - 7} = \lim_{x \to 7} (\sqrt{x + 2} + 3) = \sqrt{7 + 2} + 3 = 3 + 3 = 6
$$

4) Ta có:
$$
\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 3x^2 - 2x)
$$
Khi $ x \to +\infty $, $ x^3 $ sẽ chi phối các hạng tử khác:
$$
\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 3x^2 - 2x) = +\infty
$$

5) Ta có:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1}
$$
Chia cả tử và mẫu cho $ x^2 $:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3 - 0 + 0}{1 + 0} = +\infty
$$

6) Ta có:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{(x + 1)(x^2 - 3)}{x^3 + 1}
$$
Chia cả tử và mẫu cho $ x^3 $:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 - \frac{3}{x^2}\right)}{1 + \frac{1}{x^3}} = \frac{(1 + 0)(1 - 0)}{1 + 0} = 1
$$

7) Ta có:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4} + x}{3x - 2}
$$
Chia cả tử và mẫu cho $ x $:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} + 1}{3 - \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{1 + 0} + 1}{3 - 0} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}
$$

8) Ta có:
$$
\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 8x} + x)
$$
Nhân với biểu thức liên hợp:
$$
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 8x} + x \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 8x} + x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 8x} - x}{\sqrt{x^2 + 8x} - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 8x - x^2}{\sqrt{x^2 + 8x} - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x}{\sqrt{x^2 + 8x} - x}
$$
Chia cả tử và mẫu cho $ x $:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{8}{\sqrt{1 + \frac{8}{x}} - 1} = \frac{8}{\sqrt{1 + 0} - 1} = \frac{8}{1 - 1} = \text{không xác định}
$$
Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng khi $ x \to +\infty $, biểu thức này sẽ tiến đến $ +\infty $.

Đáp số:
1) 3
2) $-\frac{23}{3}$
3) 6
4) $+\infty$
5) $+\infty$
6) 1
7) $\frac{2}{3}$
8) $+\infty$