cho A=3+3^2+3^3+.........+3^119+3^120 . Chứng minh rằng A chia hết cho 1573 Giải hộ mình câu này với các bạn (theo cách lớp 6)

Để chứng minh rằng \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{119} + 3^{120} \) chia hết cho 1573, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các số hạng lại với nhau sao cho mỗi nhóm có tổng chia hết cho 1573. Bước 1: Xác định số lượng các số hạng trong biểu thức \( A \). Biểu thức \( A \) có 120 số hạng, từ \( 3^1 \) đến \( 3^{120} \). Bước 2: Nhóm các số hạng lại với nhau sao cho mỗi nhóm có tổng chia hết cho 1573. Chúng ta sẽ nhóm các số hạng thành các nhóm có 4 số hạng mỗi nhóm: \[ A = (3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) + (3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8) + \ldots + (3^{117} + 3^{118} + 3^{119} + 3^{120}) \] Bước 3: Tính tổng của mỗi nhóm. Mỗi nhóm có dạng \( 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + 3^{n+3} \). Ta sẽ tính tổng của nhóm đầu tiên: \[ 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120 \] Bước 4: Kiểm tra xem tổng của mỗi nhóm có chia hết cho 1573 hay không. Ta thấy rằng tổng của mỗi nhóm là 120, nhưng 120 không chia hết cho 1573. Do đó, chúng ta cần tìm cách khác để nhóm các số hạng sao cho tổng của mỗi nhóm chia hết cho 1573. Bước 5: Nhóm lại theo cách khác. Chúng ta sẽ nhóm các số hạng thành các nhóm có 11 số hạng mỗi nhóm: \[ A = (3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{11}) + (3^{12} + 3^{13} + 3^{14} + \ldots + 3^{22}) + \ldots + (3^{110} + 3^{111} + 3^{112} + \ldots + 3^{120}) \] Bước 6: Tính tổng của mỗi nhóm. Mỗi nhóm có dạng \( 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + \ldots + 3^{n+10} \). Ta sẽ tính tổng của nhóm đầu tiên: \[ 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{11} \] Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân: \[ S = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( r = 3 \), và \( n = 11 \): \[ S = 3 \frac{3^{11} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{177147 - 1}{2} = 3 \times 88573 = 265719 \] Bước 7: Kiểm tra xem tổng của mỗi nhóm có chia hết cho 1573 hay không. Ta thấy rằng tổng của mỗi nhóm là 265719, và 265719 chia hết cho 1573: \[ 265719 \div 1573 = 169 \] Vậy mỗi nhóm chia hết cho 1573. Bước 8: Kết luận. Vì mỗi nhóm chia hết cho 1573 và có tổng số nhóm là 120 : 11 = 10 nhóm, nên tổng của tất cả các nhóm cũng chia hết cho 1573. Do đó, \( A \) chia hết cho 1573.