Chứng tỏ A chia hết cho 3 với A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2^100

Để chứng tỏ rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 3, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các số hạng lại với nhau sao cho mỗi nhóm có tổng chia hết cho 3. Bước 1: Xét các số hạng của \( A \): - \( 2 \equiv 2 \pmod{3} \) - \( 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3} \) - \( 2^3 = 8 \equiv 2 \pmod{3} \) - \( 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{3} \) Như vậy, ta thấy rằng các số hạng \( 2^n \) lặp lại chu kỳ 2, 1, 2, 1, ... Bước 2: Nhóm các số hạng lại theo cặp: \[ A = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \ldots + (2^{99} + 2^{100}) \] Mỗi cặp \( (2 + 2^2) \), \( (2^3 + 2^4) \), ..., \( (2^{99} + 2^{100}) \) đều có dạng \( 2 + 4 \). Bước 3: Tính tổng của mỗi cặp: \[ 2 + 4 = 6 \] Số 6 chia hết cho 3. Bước 4: Số cặp trong \( A \): Có 100 số hạng, do đó có \( \frac{100}{2} = 50 \) cặp. Bước 5: Tổng của tất cả các cặp: \[ 50 \times 6 = 300 \] Số 300 chia hết cho 3. Vậy, \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 3.