ôn thi lớp 9

a) Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm) $\Rightarrow$ Các điểm A, B, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO. b) Ta có $\widehat{OBA}=\widehat{OHA}$ (cùng chắn cung OC) $\Rightarrow \triangle OBA \sim \triangle OHA$ (g.g) $\Rightarrow \frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OA}$ $\Rightarrow OH.OA=OB^2=R^2$ Ta có $\widehat{OBA}=\widehat{OHA}$ (chắn cung OC) $\Rightarrow \sin \widehat{OBA}=\sin \widehat{OHA}$ $\Rightarrow \frac{OB}{OA}=\frac{OH}{OA}$ $\Rightarrow OH=OB.\sin \widehat{OBA}$ $=R.\sin \widehat{OBA}$ $=R.\sin (90^\circ-\widehat{OAB})$ $=R.\cos \widehat{OAB}$ $=R.(1-2\sin^2\widehat{OAB})$ $=R-R.2\sin^2\widehat{OAB}$ $=R-OA.2\sin^2\widehat{OAB}$ $=R-OA.\sin^2\widehat{OAB}$ c) Ta có $\widehat{OBI}=\widehat{OHI}$ (cùng chắn cung OH) $\Rightarrow \triangle OBI \sim \triangle OHI$ (g.g) $\Rightarrow \frac{OB}{OH}=\frac{OI}{OA}$ $\Rightarrow OB.OA=OH.OI$ $\Rightarrow OAIH=OBIA$ Bài 5. Để tìm vị trí của các điểm M, N, P, Q sao cho hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các biến và điều kiện: - Gọi cạnh của mảnh sân hình vuông là \( a = 16 \) m. - Gọi cạnh của hình vuông MNPQ là \( x \) m. 2. Xác định vị trí của các điểm M, N, P, Q: - Giả sử điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh BC, điểm P nằm trên cạnh CD, điểm Q nằm trên cạnh DA. - Để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất, các điểm M, N, P, Q phải nằm ở vị trí sao cho cạnh của hình vuông MNPQ là nhỏ nhất. 3. Tìm diện tích của hình vuông MNPQ: - Diện tích của hình vuông MNPQ là \( S_{MNPQ} = x^2 \). 4. Xác định vị trí của các điểm M, N, P, Q để diện tích nhỏ nhất: - Để diện tích của hình vuông MNPQ nhỏ nhất, cạnh \( x \) phải nhỏ nhất. - Do mảnh sân hình vuông có cạnh là 16 m, nên cạnh của hình vuông MNPQ nhỏ nhất khi nó nằm ở vị trí sao cho cạnh của nó là nhỏ nhất. 5. Lập phương trình để tìm giá trị nhỏ nhất của \( x \): - Ta thấy rằng nếu các điểm M, N, P, Q nằm ở vị trí sao cho cạnh của hình vuông MNPQ là nhỏ nhất, thì cạnh của hình vuông MNPQ sẽ là \( x = 8 \) m (khi đó hình vuông MNPQ nằm ở chính giữa mảnh sân hình vuông). 6. Kiểm tra điều kiện: - Khi \( x = 8 \) m, diện tích của hình vuông MNPQ là \( S_{MNPQ} = 8^2 = 64 \) m². 7. Kết luận: - Vậy vị trí của các điểm M, N, P, Q lần lượt trên các cạnh của mảnh sân để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất là khi cạnh của hình vuông MNPQ là 8 m. Đáp số: Cạnh của hình vuông MNPQ là 8 m.