Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( A \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{x}{9 - x} \right) : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Tìm mẫu chung của hai phân thức: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 9} \] Bước 2: Rút gọn phân thức còn lại Ta có: \[ \frac{x}{9 - x} = -\frac{x}{x - 9} \] Bước 3: Kết hợp các phân thức \[ \frac{2\sqrt{x}}{x - 9} - \frac{x}{x - 9} = \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \] Bước 4: Chia biểu thức cho phân thức cuối cùng \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \right) : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x} - x}{x - 9} \right) \times \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{(2\sqrt{x} - x)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 2)} \] b) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) Thay \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{(2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - (3 + 2\sqrt{2}))(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 3)}{(3 + 2\sqrt{2} - 9)(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 2)} \] Chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \): \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Do đó: \[ 2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2 \] Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{(2\sqrt{2} + 2 - 3 - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1 + 3)}{(3 + 2\sqrt{2} - 9)(\sqrt{2} + 1 + 2)} \] \[ A = \frac{(2 - 3)(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] \[ A = \frac{-1(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] Tính tiếp: \[ A = \frac{-(\sqrt{2} + 4)}{(2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 3)} \] Đây là giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 3 + 2\sqrt{2} \). Câu 26: a) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5y = -3 \\ 3x - y = 4 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 5 để dễ dàng trừ phương trình thứ nhất: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5y = -3 \\ 15x - 5y = 20 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại: \[ (2x + 5y) + (15x - 5y) = -3 + 20 \] \[ 17x = 17 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 3x - y = 4 \): \[ 3(1) - y = 4 \] \[ 3 - y = 4 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). c) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 3 \\ x + 2y = -1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 2y = 6 \\ x + 2y = -1 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại: \[ (4x - 2y) + (x + 2y) = 6 + (-1) \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( 2x - y = 3 \): \[ 2(1) - y = 3 \] \[ 2 - y = 3 \] \[ -y = 1 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). Đáp số: a) \( (x, y) = (1, -1) \) c) \( (x, y) = (1, -1) \) Câu 27: a) $x^2-9=3(x+3)$ Điều kiện xác định: $x \neq -3$. $(x-3)(x+3)=3(x+3)$ $(x-3)(x+3)-3(x+3)=0$ $(x+3)(x-3-3)=0$ $(x+3)(x-6)=0$ $x+3=0$ hoặc $x-6=0$ $x=-3$ hoặc $x=6$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-3$ và $x=6$. b) $x^2-x=-2x+2$ $x(x-1)=-2(x-1)$ $x(x-1)+2(x-1)=0$ $(x-1)(x+2)=0$ $x-1=0$ hoặc $x+2=0$ $x=1$ hoặc $x=-2$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=-2$. c) $x^2-3x=2x-6$ $x(x-3)=2(x-3)$ $x(x-3)-2(x-3)=0$ $(x-3)(x-2)=0$ $x-3=0$ hoặc $x-2=0$ $x=3$ hoặc $x=2$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x=3$ và $x=2$. Câu 28: a) Điều kiện xác định: \( x \neq -1; x \neq 2 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x-2} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{2(x-2) + (x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 2(x-2) + (x+1) = 3 \] \[ 2x - 4 + x + 1 = 3 \] \[ 3x - 3 = 3 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện xác định: \( x \neq 3; x \neq 0 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-2}{x} = 2 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x(x+3) + (x-3)(x-2)}{x(x-3)} = 2 \] Bỏ mẫu số chung: \[ x(x+3) + (x-3)(x-2) = 2x(x-3) \] \[ x^2 + 3x + x^2 - 5x + 6 = 2x^2 - 6x \] \[ 2x^2 - 2x + 6 = 2x^2 - 6x \] \[ -2x + 6 = -6x \] \[ 4x = -6 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: \( x = -\frac{3}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 3 \) và \( x \neq 0 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{3}{2} \). c) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{1}{x-1} - \frac{4x}{x^3-1} = \frac{x}{x^2+x+1} \] Nhận thấy \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \), ta có: \[ \frac{1}{x-1} - \frac{4x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x}{x^2 + x + 1} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x^2 + x + 1 - 4x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x}{x^2 + x + 1} \] Bỏ mẫu số chung: \[ x^2 + x + 1 - 4x = x(x-1) \] \[ x^2 - 3x + 1 = x^2 - x \] \[ -3x + 1 = -x \] \[ -2x = -1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: \( x = \frac{1}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 1 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{2} \). d) Điều kiện xác định: \( x \neq 2; x \neq -1 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{3(x+1) + 2(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 3(x+1) + 2(x-2) = 2x + 5 \] \[ 3x + 3 + 2x - 4 = 2x + 5 \] \[ 5x - 1 = 2x + 5 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm. Đáp số: a) Vô nghiệm b) \( x = -\frac{3}{2} \) c) \( x = \frac{1}{2} \) d) Vô nghiệm Câu 29: 1) Giải bất phương trình: \[ 3(x - 2) - 5 \geq 3(2x - 1) \] Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử: \[ 3x - 6 - 5 \geq 6x - 3 \] \[ 3x - 11 \geq 6x - 3 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 3x - 6x \geq -3 + 11 \] \[ -3x \geq 8 \] Bước 3: Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x \leq -\frac{8}{3} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -\frac{8}{3} \] 2) Giải bất phương trình: \[ -5(x - 2) + 2(x - 3) \geq 7 \] Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử: \[ -5x + 10 + 2x - 6 \geq 7 \] \[ -3x + 4 \geq 7 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -3x \geq 7 - 4 \] \[ -3x \geq 3 \] Bước 3: Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x \leq -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -1 \] 5) Giải bất phương trình: \[ (x - 1)^2 < x(x + 3) \] Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử: \[ x^2 - 2x + 1 < x^2 + 3x \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ x^2 - 2x + 1 - x^2 - 3x < 0 \] \[ -5x + 1 < 0 \] Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -5x < -1 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho -5 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x > \frac{1}{5} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x > \frac{1}{5} \] 6) Giải bất phương trình: \[ 2(x + 2)^2 < 2x(x + 2) + 4 \] Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử: \[ 2(x^2 + 4x + 4) < 2x^2 + 4x + 4 \] \[ 2x^2 + 8x + 8 < 2x^2 + 4x + 4 \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 2x^2 + 8x + 8 - 2x^2 - 4x - 4 < 0 \] \[ 4x + 4 < 0 \] Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 4x < -4 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 4: \[ x < -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x < -1 \] Câu 30: Để biết liệu tấm lưới có đủ dài để bác An rào xung quanh mảnh vườn hình chữ nhật hay không, chúng ta cần tính chu vi của mảnh vườn và so sánh nó với độ dài của tấm lưới. 1. Tìm chiều rộng của mảnh vườn: Chiều rộng của mảnh vườn là: \[ x - 10 \text{ (m)} \] 2. Tính chu vi của mảnh vườn: Chu vi của một hình chữ nhật được tính bằng công thức: \[ P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ P = 2 \times (x + (x - 10)) = 2 \times (2x - 10) = 4x - 20 \text{ (m)} \] 3. So sánh chu vi với độ dài của tấm lưới: Độ dài của tấm lưới là 90m. Để tấm lưới đủ dài, chu vi của mảnh vườn phải nhỏ hơn hoặc bằng 90m: \[ 4x - 20 \leq 90 \] 4. Giải bất phương trình: \[ 4x - 20 \leq 90 \] \[ 4x \leq 110 \] \[ x \leq 27.5 \] 5. Kiểm tra điều kiện: Theo đề bài, bác An ước lượng là \( x > 30 \). Tuy nhiên, từ bất phương trình trên, ta thấy \( x \leq 27.5 \). Điều này mâu thuẫn với điều kiện \( x > 30 \). Do đó, nếu \( x > 30 \), thì chu vi của mảnh vườn sẽ lớn hơn 90m, tức là tấm lưới không đủ dài để rào xung quanh mảnh vườn. Kết luận: Tấm lưới không đủ dài để bác An rào xung quanh mảnh vườn nếu \( x > 30 \). Câu 31 Điểm số trung bình của ba môn là: \[ \frac{2 \times \text{Toán} + 2 \times \text{Ngữ văn} + 1 \times \text{Tiếng Anh}}{2 + 2 + 1} \] Để trúng tuyển, điểm số trung bình của ba môn ít nhất phải bằng 8, tức là: \[ \frac{2 \times 9,0 + 2 \times 7,5 + 1 \times \text{Tiếng Anh}}{5} \geq 8 \] Bây giờ, chúng ta sẽ giải bất phương trình này để tìm điểm số Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Tuấn phải đạt. Nhân cả hai vế của bất phương trình với 5: \[ 2 \times 9,0 + 2 \times 7,5 + 1 \times \text{Tiếng Anh} \geq 8 \times 5 \] \[ 18 + 15 + \text{Tiếng Anh} \geq 40 \] \[ 33 + \text{Tiếng Anh} \geq 40 \] Trừ 33 từ cả hai vế: \[ \text{Tiếng Anh} \geq 40 - 33 \] \[ \text{Tiếng Anh} \geq 7 \] Vậy điểm số Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Tuấn phải đạt để trúng tuyển là 7 điểm. Câu 32 Gọi số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0). Số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là: 550 - x (triệu đồng). Tiền lãi từ ngân hàng sau 1 năm là: $\frac{x \times 7}{100} = \frac{7x}{100}$ (triệu đồng). Tiền lãi từ nhà hàng sau 1 năm là: $\frac{(550 - x) \times 10}{100} = \frac{5500 - 10x}{100}$ (triệu đồng). Theo đề bài, tổng tiền lãi từ hai khoản sau 1 năm là 46 triệu đồng, ta có phương trình: \[ \frac{7x}{100} + \frac{5500 - 10x}{100} = 46 \] Nhân cả hai vế với 100 để loại mẫu số: \[ 7x + 5500 - 10x = 4600 \] Rearrange and combine like terms: \[ -3x + 5500 = 4600 \] Subtract 5500 from both sides: \[ -3x = -900 \] Divide both sides by -3: \[ x = 300 \] Vậy số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là 300 triệu đồng. Số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là: \[ 550 - 300 = 250 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: Số tiền bác Minh gửi vào ngân hàng là 300 triệu đồng, số tiền bác Minh đầu tư vào nhà hàng là 250 triệu đồng. Câu 33: a) Ta sẽ giải từng bất phương trình một. Bất phương trình thứ nhất: \[ 3(x-2) - 5 \geq 3(2x-1) \] Mở ngoặc: \[ 3x - 6 - 5 \geq 6x - 3 \] \[ 3x - 11 \geq 6x - 3 \] Di chuyển các hạng tử: \[ 3x - 6x \geq -3 + 11 \] \[ -3x \geq 8 \] Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu): \[ x \leq -\frac{8}{3} \] Bất phương trình thứ hai: \[ 3(2 + x) \leq x - 8 \] Mở ngoặc: \[ 6 + 3x \leq x - 8 \] Di chuyển các hạng tử: \[ 3x - x \leq -8 - 6 \] \[ 2x \leq -14 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x \leq -7 \] b) Chứng minh rằng nếu \( 3a + 2 \geq 3b + 5 \) thì \( a \geq b + 1 \). Bắt đầu từ bất phương trình đã cho: \[ 3a + 2 \geq 3b + 5 \] Di chuyển các hạng tử: \[ 3a - 3b \geq 5 - 2 \] \[ 3a - 3b \geq 3 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ a - b \geq 1 \] Do đó: \[ a \geq b + 1 \] Đáp số: a) \( x \leq -\frac{8}{3} \) và \( x \leq -7 \) b) \( a \geq b + 1 \) Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn, cụ thể là tỉ số của chiều cao của đài quan sát và độ dài của bóng để tìm góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất. Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết: - Chiều cao của đài quan sát: 533 m - Độ dài của bóng: 1 100 m Bước 2: Xác định góc cần tìm: Gọi góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là $\alpha$. Bước 3: Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn: Tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ là: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Chiều cao của đài quan sát}}{\text{Độ dài của bóng}} = \frac{533}{1100} \] Bước 4: Tính giá trị của $\tan(\alpha)$: \[ \tan(\alpha) = \frac{533}{1100} \approx 0.4845 \] Bước 5: Tìm góc $\alpha$: Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc $\alpha$ sao cho $\tan(\alpha) \approx 0.4845$. Ta có: \[ \alpha \approx 25^\circ \] Vậy, góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là khoảng 25 độ.