cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD(D thuộc BC) và góc ABC bằng 60 độ. qua D kẻ đường thẳng vuông góc vuông góc với BC và cắt hai đường thẳng AC,AB lần lượt tại E,F a chứng minh tứ giác...

a) Ta có $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A) $\widehat{ABC} = 60^\circ$ (theo đề bài) $\widehat{ACB} = 30^\circ$ (vì tổng các góc trong tam giác là 180°) Do AD là đường phân giác của góc BAC, nên: $\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = 45^\circ$ Xét tam giác ACD, ta có: $\widehat{ADC} = 180^\circ - (\widehat{CAD} + \widehat{ACD})$ $= 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ)$ $= 105^\circ$ Xét tam giác ADF, ta có: $\widehat{ADF} = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC) $\widehat{DAF} = 45^\circ$ (vì AD là đường phân giác của góc BAC) Do đó: $\widehat{AFD} = 180^\circ - (\widehat{DAF} + \widehat{ADF})$ $= 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ)$ $= 45^\circ$ Vậy $\widehat{AFD} + \widehat{ACD} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$ $\widehat{AFD} + \widehat{ACD} = 180^\circ - \widehat{ADC} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ Như vậy, tứ giác ADCF nội tiếp (vì tổng hai góc đối bằng 180°). b) Ta có $\widehat{CDF} = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC) $\widehat{DCF} = 45^\circ$ (vì $\widehat{ACD} = 30^\circ$ và $\widehat{ACF} = 15^\circ$) Do đó, tam giác CDF là tam giác vuông cân tại D. Xét tam giác CDF, ta có: $\widehat{CDF} = 90^\circ$ $\widehat{DCF} = 45^\circ$ $\widehat{CFD} = 45^\circ$ Vậy tam giác CDF là tam giác vuông cân tại D. Ta có I là trung điểm của CF, nên DI là đường trung tuyến của tam giác CDF. Xét tam giác CDF, ta có: $\widehat{CDF} = 90^\circ$ $\widehat{DCF} = 45^\circ$ $\widehat{CFD} = 45^\circ$ Do đó, DI là đường trung tuyến của tam giác vuông cân, nên DI vuông góc với CF. Xét tam giác BEC, ta có: $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC) $\widehat{EBC} = 60^\circ$ (vì $\widehat{ABC} = 60^\circ$) $\widehat{ECB} = 30^\circ$ (vì $\widehat{ACB} = 30^\circ$) Do đó, BE vuông góc với EC. Vậy DI // BE (vì cả hai đều vuông góc với CF). c) Ta có diện tích tam giác BCF là 9 - 3√3 cm². Xét tam giác BCF, ta có: $\widehat{BCF} = 30^\circ$ $\widehat{CBF} = 60^\circ$ $\widehat{CFB} = 90^\circ$ Diện tích tam giác BCF là: $S_{BCF} = \frac{1}{2} \times BC \times CF \times \sin(30^\circ)$ $= \frac{1}{2} \times BC \times CF \times \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{4} \times BC \times CF$ Vậy: $\frac{1}{4} \times BC \times CF = 9 - 3\sqrt{3}$ $BC \times CF = 36 - 12\sqrt{3}$ Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{ABC} = 60^\circ$ $\widehat{ACB} = 30^\circ$ $\widehat{BAC} = 90^\circ$ Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Ta có: $AB = AC$ $BC = 2 \times AB \times \sin(60^\circ)$ $= 2 \times AB \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= AB \times \sqrt{3}$ Vậy: $BC \times CF = (AB \times \sqrt{3}) \times CF = 36 - 12\sqrt{3}$ Xét tam giác CDF, ta có: $\widehat{CDF} = 90^\circ$ $\widehat{DCF} = 45^\circ$ $\widehat{CFD} = 45^\circ$ Do đó, tam giác CDF là tam giác vuông cân tại D. Ta có: $CF = CD \times \sqrt{2}$ $CD = AB$ Vậy: $(AB \times \sqrt{3}) \times (AB \times \sqrt{2}) = 36 - 12\sqrt{3}$ $AB^2 \times \sqrt{6} = 36 - 12\sqrt{3}$ Chia cả hai vế cho $\sqrt{6}$, ta được: $AB^2 = \frac{36 - 12\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ $= \frac{36}{\sqrt{6}} - \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ $= 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$ Vậy: $AB = \sqrt{6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}$ Đáp số: $AB = \sqrt{6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}$