Cho tứ diện
ABCD
có
M N,
lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC
và tam giác
ABD
. Chứng
minh rằng đường thẳng
MN
song song với mặt phẳng
(BCD).

Question

Cho tứ diện 
ABCD
có 
M N,
lần lượt là trọng tâm các tam giác 
ABC
và tam giác 
ABD
. Chứng 
minh rằng đường thẳng 
MN
song song với mặt phẳng 
(BCD).

Accepted Answer

Để chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ song song với mặt phẳng $ (BCD) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vị trí của các điểm trọng tâm:
   - $ M $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $. Do đó, $ M $ chia mỗi đường trung tuyến của tam giác $ ABC $ thành tỉ số $ 2:1 $.
   - $ N $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $. Do đó, $ N $ chia mỗi đường trung tuyến của tam giác $ ABD $ thành tỉ số $ 2:1 $.

2. Tìm giao điểm của các đường trung tuyến:
   - Gọi $ P $ là giao điểm của đường trung tuyến từ $ A $ đến $ BC $ và đường trung tuyến từ $ A $ đến $ BD $. 
   - Vì $ M $ và $ N $ đều nằm trên các đường trung tuyến này, nên $ M $ và $ N $ sẽ nằm trên đoạn thẳng $ AP $.

3. Chứng minh $ MN $ song song với $ CD $:
   - Ta thấy rằng $ M $ và $ N $ đều nằm trên đoạn thẳng $ AP $, do đó $ MN $ là đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng $ (APC) $.
   - Mặt phẳng $ (APC) $ bao gồm các điểm $ A $, $ P $, và $ C $. Vì $ P $ là giao điểm của các đường trung tuyến từ $ A $ đến $ BC $ và $ BD $, nên $ P $ cũng nằm trên đường trung tuyến từ $ B $ đến $ CD $.
   - Do đó, $ MN $ nằm trong mặt phẳng $ (APC) $ và song song với $ CD $.

4. Kết luận:
   - Vì $ MN $ song song với $ CD $ và $ CD $ nằm trong mặt phẳng $ (BCD) $, nên $ MN $ song song với mặt phẳng $ (BCD) $.

Vậy ta đã chứng minh được rằng đường thẳng $ MN $ song song với mặt phẳng $ (BCD) $.

Cho tứ diện ABCD có M N, lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và tam giác ABD . Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD).