hsisb dkxoznzb

Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức $\cos\alpha + \sin\alpha$ khi $\alpha = \frac{\pi}{6}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$: - Biết rằng $\alpha = \frac{\pi}{6}$, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \] 2. Tính tổng $\cos\alpha + \sin\alpha$: - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \] 3. Rút gọn biểu thức: - Ta có thể cộng hai phân số này lại: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \] Vậy giá trị của $\cos\alpha + \sin\alpha$ khi $\alpha = \frac{\pi}{6}$ là $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.} \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \] Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{\cos x}{2\sin x - 1} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số \( 2\sin x - 1 \neq 0 \). Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng 0: \[ 2\sin x - 1 \neq 0 \] \[ 2\sin x \neq 1 \] \[ \sin x \neq \frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( \sin x = \frac{1}{2} \): \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Các giá trị \( x \) thỏa mãn điều này là: \[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 3: Tập xác định của hàm số sẽ là tất cả các số thực ngoại trừ các giá trị đã tìm được ở trên: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi, \frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi, \frac{\pi}{6} + k2\pi, \frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}. \] Câu 3. Để giải phương trình $\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giá trị của góc trong khoảng từ 0 đến $2\pi$: Ta biết rằng $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$ có các nghiệm là: \[ \theta = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \theta = \frac{11\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Áp dụng vào phương trình ban đầu: Thay $\theta = 2x + \frac{\pi}{3}$ vào các giá trị trên: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \] 3. Giải các phương trình này để tìm $x$: - Với $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] - Với $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + k2\pi$: \[ 2x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{11\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k2\pi = \frac{9\pi}{6} + k2\pi = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] 4. Kiểm tra lại các giá trị: - $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ - $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$ Như vậy, phương trình $\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ có họ nghiệm là: \[ \left[\begin{array}{l} x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 4. Ta xét từng khẳng định: A. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ Theo công thức biến đổi góc liên hợp, ta có: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \] Khẳng định này đúng. B. $\sin(-\alpha) = \sin \alpha$ Theo tính chất của hàm sin, ta có: \[ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \] Khẳng định này sai. C. $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \] Khẳng định này sai. D. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$ Theo công thức biến đổi góc liên hợp, ta có: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \] Khẳng định này đúng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có khẳng định A là đúng. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{A.}~\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\cos \alpha\) từ \(\sin \alpha\): Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Thay \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Do \(\alpha\) nằm trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), \(\cos \alpha\) sẽ là âm. Vậy: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] 2. Xác định giá trị của \(a\) và \(b\): Từ \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\), ta thấy \(\frac{a}{b} = \frac{4}{5}\). Do đó, \(a = 4\) và \(b = 5\). 3. Tính giá trị của biểu thức \(a^2 + b^2\): \[ a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \] Vậy giá trị của biểu thức \(a^2 + b^2\) là 41. Đáp án đúng là: A. 41. Câu 6. Trước tiên, ta biết rằng $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Với $\tan \alpha = -2$, ta có: \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 \] Biểu thức $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{5}}$ cho ta biết $\cos \alpha$ là một số thực dương vì $\alpha$ nằm trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, tức là góc $\alpha$ thuộc phần tư thứ tư, nơi mà $\cos \alpha > 0$ và $\sin \alpha < 0$. Do đó, ta có: \[ \sin \alpha = -2 \cdot \cos \alpha = -2 \cdot \frac{a}{\sqrt{5}} = -\frac{2a}{\sqrt{5}} \] Áp dụng công thức Pythagoras cho sin và cos: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay các giá trị vào: \[ \left(-\frac{2a}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 \] \[ \frac{4a^2}{5} + \frac{a^2}{5} = 1 \] \[ \frac{5a^2}{5} = 1 \] \[ a^2 = 1 \] Vậy $a = \pm 1$. Vì $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{5}}$ và $\cos \alpha > 0$, ta chọn $a = 1$. Giá trị biểu thức $a^2 - 25$ là: \[ a^2 - 25 = 1^2 - 25 = 1 - 25 = -24 \] Đáp án đúng là: B. -24. Câu 7: Để giải phương trình $2\cos x - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình này là phương trình lượng giác, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể. 2. Giải phương trình: Ta có phương trình: \[ 2\cos x - 1 = 0 \] Chuyển vế để tìm giá trị của $\cos x$: \[ 2\cos x = 1 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \cos x = \frac{1}{2} \] 3. Xác định các giá trị của $x$ thỏa mãn $\cos x = \frac{1}{2}$: Ta biết rằng $\cos x = \frac{1}{2}$ khi: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Viết lại nghiệm: Kết hợp các nghiệm trên, ta có: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi,~k\in\mathbb{Z}} \] Câu 8: Trước tiên, ta cần tìm công sai \(d\) của cấp số cộng. Ta biết rằng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào \(u_{12}\): \[ u_{12} = u_1 + 11d \] Thay \(u_{12} = 38\) và \(u_1 = 5\): \[ 38 = 5 + 11d \] Giải phương trình này để tìm \(d\): \[ 38 - 5 = 11d \] \[ 33 = 11d \] \[ d = \frac{33}{11} \] \[ d = 3 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \(u_0\). Ta biết rằng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào \(u_0\): \[ u_0 = u_1 - d \] Thay \(u_1 = 5\) và \(d = 3\): \[ u_0 = 5 - 3 \] \[ u_0 = 2 \] Vậy giá trị của \(u_0\) là 2. Đáp án đúng là: C. 2 Câu 9: Để xác định dãy số nào là cấp số cộng, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số cộng: mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng tổng của số hạng đứng liền trước nó và một hằng số cố định (số công sai). Ta sẽ kiểm tra từng dãy số: A. \( u_n = \frac{n+1}{n} \) - Số hạng thứ nhất: \( u_1 = \frac{1+1}{1} = 2 \) - Số hạng thứ hai: \( u_2 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} \) - Số hạng thứ ba: \( u_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3} \) Ta thấy rằng \( u_2 - u_1 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \) và \( u_3 - u_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{1}{6} \). Các hiệu này không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. B. \( u_n = n^2 + 1 \) - Số hạng thứ nhất: \( u_1 = 1^2 + 1 = 2 \) - Số hạng thứ hai: \( u_2 = 2^2 + 1 = 5 \) - Số hạng thứ ba: \( u_3 = 3^2 + 1 = 10 \) Ta thấy rằng \( u_2 - u_1 = 5 - 2 = 3 \) và \( u_3 - u_2 = 10 - 5 = 5 \). Các hiệu này không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. C. \( u_n = 2n + 5 \) - Số hạng thứ nhất: \( u_1 = 2 \cdot 1 + 5 = 7 \) - Số hạng thứ hai: \( u_2 = 2 \cdot 2 + 5 = 9 \) - Số hạng thứ ba: \( u_3 = 2 \cdot 3 + 5 = 11 \) Ta thấy rằng \( u_2 - u_1 = 9 - 7 = 2 \) và \( u_3 - u_2 = 11 - 9 = 2 \). Các hiệu này bằng nhau, do đó dãy số này là cấp số cộng với số công sai là 2. D. \( u_n = 3^n \) - Số hạng thứ nhất: \( u_1 = 3^1 = 3 \) - Số hạng thứ hai: \( u_2 = 3^2 = 9 \) - Số hạng thứ ba: \( u_3 = 3^3 = 27 \) Ta thấy rằng \( u_2 - u_1 = 9 - 3 = 6 \) và \( u_3 - u_2 = 27 - 9 = 18 \). Các hiệu này không bằng nhau, do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. Vậy dãy số \( C.~u_n = 2n + 5 \) là cấp số cộng. Đáp án: C. \( u_n = 2n + 5 \) Câu 10. Cấp số nhân là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một hằng số cố định gọi là công bội. Trong dãy số đã cho: $1; 3; 9; ...$, ta thấy: - Số hạng thứ hai ($3$) bằng số hạng thứ nhất ($1$) nhân với $3$: $1 \times 3 = 3$ - Số hạng thứ ba ($9$) bằng số hạng thứ hai ($3$) nhân với $3$: $3 \times 3 = 9$ Như vậy, công bội của cấp số này là $3$. Ta sẽ tiếp tục tính các số hạng tiếp theo bằng cách nhân số hạng liền trước với công bội $3$. Số hạng thứ tư sẽ là: \[ 9 \times 3 = 27 \] Vậy số hạng tiếp theo của cấp số nhân là $27$. Đáp án đúng là: B. 27 Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm số hạng đầu \( u_0 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân dựa vào hai điều kiện đã cho. Trước tiên, ta viết lại các điều kiện: \[ u_4 - u_3 = 54 \] \[ u_3 - u_2 = 108 \] Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng được tính bằng số hạng trước đó nhân với công bội \( q \). Do đó, ta có: \[ u_4 = u_3 \cdot q \] \[ u_3 = u_2 \cdot q \] Thay vào các điều kiện: \[ u_3 \cdot q - u_3 = 54 \] \[ u_2 \cdot q^2 - u_2 \cdot q = 108 \] Chúng ta rút gọn các biểu thức: \[ u_3 (q - 1) = 54 \quad \text{(1)} \] \[ u_2 \cdot q (q - 1) = 108 \quad \text{(2)} \] Chia phương trình (2) cho phương trình (1): \[ \frac{u_2 \cdot q (q - 1)}{u_3 (q - 1)} = \frac{108}{54} \] \[ \frac{u_2 \cdot q}{u_3} = 2 \] Biết rằng \( u_3 = u_2 \cdot q \), thay vào: \[ \frac{u_2 \cdot q}{u_2 \cdot q} = 2 \] \[ q = 2 \] Bây giờ, ta thay \( q = 2 \) vào phương trình (1): \[ u_3 (2 - 1) = 54 \] \[ u_3 = 54 \] Biết rằng \( u_3 = u_2 \cdot q \), ta có: \[ 54 = u_2 \cdot 2 \] \[ u_2 = 27 \] Tiếp theo, ta tìm \( u_1 \): \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ 27 = u_1 \cdot 2 \] \[ u_1 = 13.5 \] Cuối cùng, ta tìm \( u_0 \): \[ u_1 = u_0 \cdot q \] \[ 13.5 = u_0 \cdot 2 \] \[ u_0 = 6.75 \] Vậy số hạng đầu \( u_0 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân là: \[ u_0 = 6.75 \] \[ q = 2 \] Đáp án: \( u_0 = 6.75 \) và \( q = 2 \).