mng ơi giúp em câu này với ạ😭 Câu 13: Cho phương trình $\sin(2x-\frac\pi4)=\sin(x+\frac{3\pi}4)(*),$ vậy:,a) Phương trình có nghiệm $\left[\begin{array}lx=\pi+k2\pi\x=\frac\pi6+k\frac{2\pi}3\end{array} ight.(k\in\Box).$,b) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm,c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}6$,d) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{5\pi}6$

Question

mng ơi giúp em câu này với ạ😭 Câu 13: Cho phương trình $\sin(2x-\frac\pi4)=\sin(x+\frac{3\pi}4)(*),$ vậy:,a) Phương trình có nghiệm $\left[\begin{array}lx=\pi+k2\pi\x=\frac\pi6+k\frac{2\pi}3\end{array}ight.(k\in\Box).$,b) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm,c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}6$,d) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{5\pi}6$

vuquynhanh1 · Accepted Answer

Câu 13:
Để giải phương trình $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})$, ta áp dụng công thức $\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + k2\pi$ hoặc $A = \pi - B + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$).

Áp dụng vào phương trình đã cho:
1. $2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi$
$$
2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi
$$
$$
x = \pi + k2\pi
$$

2. $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (x + \frac{3\pi}{4}) + k2\pi$
$$
2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi
$$
$$
2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi
$$
$$
3x = \pi - \frac{2\pi}{4} + k2\pi
$$
$$
3x = \pi - \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
3x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}
$$

Vậy phương trình có nghiệm:
$$
\left[\begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \
x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}
\end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})
$$

Tiếp theo, ta xét các nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$:
- Với $x = \pi + k2\pi$:
- $k = 0 \Rightarrow x = \pi$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)
- $k = -1 \Rightarrow x = -\pi$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)

- Với $x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}$:
- $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ (thuộc khoảng $(0; \pi)$)
- $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (thuộc khoảng $(0; \pi)$)
- $k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)

Do đó, trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có hai nghiệm là $\frac{\pi}{6}$ và $\frac{5\pi}{6}$.

Tổng các nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$ là:
$$
\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi
$$

Timi · Answer

Câu 13:
Để giải phương trình $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})$, ta áp dụng công thức $\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + k2\pi$ hoặc $A = \pi - B + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$).

Áp dụng vào phương trình đã cho:
1. $2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi$
   $$
   2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi
   $$
   $$
   x = \pi + k2\pi
   $$

2. $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (x + \frac{3\pi}{4}) + k2\pi$
   $$
   2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi
   $$
   $$
   2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi
   $$
   $$
   3x = \pi - \frac{2\pi}{4} + k2\pi
   $$
   $$
   3x = \pi - \frac{\pi}{2} + k2\pi
   $$
   $$
   3x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
   $$
   $$
   x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}
   $$

Vậy phương trình có nghiệm:
$$ 
\left[\begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \
x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}
\end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})
$$

Tiếp theo, ta xét các nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$:
- Với $x = \pi + k2\pi$: 
  - $k = 0 \Rightarrow x = \pi$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)
  - $k = -1 \Rightarrow x = -\pi$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)

- Với $x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}$:
  - $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ (thuộc khoảng $(0; \pi)$)
  - $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (thuộc khoảng $(0; \pi)$)
  - $k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$)

Do đó, trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có hai nghiệm là $\frac{\pi}{6}$ và $\frac{5\pi}{6}$.

Tổng các nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$ là:
$$ 
\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi
$$

Vậy đáp án đúng là:
a) Phương trình có nghiệm $\left[\begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
b) Trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có 2 nghiệm.
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; \pi)$ bằng $\pi$.
d) Trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{5\pi}{6}$.

King failed · Answer

{"userId":5371531,"userName":"Apple_LQHsTorwh1b02SlPN3T8UPVLJ7y2"}

Giải chi tiết bài toán:

Phương trình: sin(2x - π/4) = sin(x + 3π/4)

Giải: Để giải phương trình lượng giác, ta sử dụng công thức: sinα = sinβ ⇔ α = β + k2π hoặc α = π - β + k2π (với k ∈ ℤ)

Áp dụng vào bài toán, ta có:

Trường hợp 1: 2x - π/4 = x + 3π/4 + k2π ⇔ x = π + k2π
Trường hợp 2: 2x - π/4 = π - (x + 3π/4) + k2π ⇔ 3x = 7π/4 + k2π ⇔ x = 7π/12 + k2π/3

Kết luận: Phương trình có hai họ nghiệm:

x = π + k2π
x = 7π/12 + k2π/3

Phân tích các đáp án:

a) Phương trình có nghiệm (∀k ∈ ℤ): Đúng, vì hai họ nghiệm đều thỏa mãn với mọi k nguyên.
b) Trong khoảng (0; π), phương trình có 2 nghiệm:Với họ nghiệm x = π + k2π, không có nghiệm nào thuộc khoảng (0; π).
Với họ nghiệm x = 7π/12 + k2π/3, ta tìm được 2 nghiệm trong khoảng (0; π) là: 7π/12 và 19π/12. Vậy đáp án b) đúng.
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; π) bằng 7π/6: Sai, tổng hai nghiệm là 7π/12 + 19π/12 = 13π/6.
d) Trong khoảng (0; π), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng 5π/6: Sai, nghiệm lớn nhất trong khoảng (0; π) là 19π/12.

Kết luận cuối cùng:

Đáp án đúng là b). Trong khoảng (0; π), phương trình có 2 nghiệm