giúp mình với $d)~((SAB),(SAD))=90^0$,Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Bất phương trình $3^{2x-5}\frac19$ có tập nghiệm là $S=(\frac ab;+\infty)$ với a;b là các số tự nhiên và $\frac ab$ là phân,số tối giản, thì giá trị của $a+b$ là,Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=60^0,$ tam giác SBC là tam giác,đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi ợ là góc phẳng nhị diện [S,AC,B]..,Tính tan p?,Câu 3. Một nhóm có 7 bạn trong đó có bạn Việt và Nam xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu,nhiên. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng"(làm tròn,đến hàng phần trăm),Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA vuông góc với,mặt phẳng (ABCD) và $SC=10\sqrt5.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa,BD và MN ,Câu 5 : Bất phương trình $\log^2_2x-5\log_2x-6\leq0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?,Câu 6 : Tính $P=(\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{xy^{\frac12}+x^{\frac12}y}+\frac{x^{\frac12}+y^{\frac12}}{xy^{\frac12}-x^{\frac12}y})\frac{x^{\frac32}y^{\frac12}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$ với x, y là các số dương.,Phần IV. Tự luận,Câu 1 . Để lát gạch vỉa hè, người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục gì,Nều (Hình 48 ) với chiều cao là 4 cm và cạnh lục giác dài 21,5 cm. Tính thể tích bê tông theo đơn,ntimét khối để làm một viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).,

Question

giúp mình với $d)~((SAB),(SAD))=90^0$,Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Bất phương trình $3^{2x-5}>\frac19$ có tập nghiệm là $S=(\frac ab;+\infty)$ với a;b là các số tự nhiên và $\frac ab$ là phân,số tối giản, thì giá trị của $a+b$ là,Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=60^0,$ tam giác SBC là tam giác,đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi ợ là góc phẳng nhị diện [S,AC,B]..,Tính tan p?,Câu 3. Một nhóm có 7 bạn trong đó có bạn Việt và Nam xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu,nhiên. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng"(làm tròn,đến hàng phần trăm),Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA vuông góc với,mặt phẳng (ABCD) và $SC=10\sqrt5.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa,BD và MN ,Câu 5 : Bất phương trình $\log^2_2x-5\log_2x-6\leq0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?,Câu 6 : Tính $P=(\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{xy^{\frac12}+x^{\frac12}y}+\frac{x^{\frac12}+y^{\frac12}}{xy^{\frac12}-x^{\frac12}y})\frac{x^{\frac32}y^{\frac12}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$ với x, y là các số dương.,Phần IV. Tự luận,Câu 1 . Để lát gạch vỉa hè, người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục gì,Nều (Hình 48 ) với chiều cao là 4 cm và cạnh lục giác dài 21,5 cm. Tính thể tích bê tông theo đơn,ntimét khối để làm một viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/7807bf8af5eb443baa3f494e93541f41.jpg />

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bất phương trình $3^{2x-5} > \frac{1}{9}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết lại bất phương trình:
   Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{9}$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 3:
   $$
   \frac{1}{9} = 3^{-2}
   $$
   Vậy bất phương trình trở thành:
   $$
   3^{2x-5} > 3^{-2}
   $$

2. So sánh các lũy thừa cùng cơ số:
   Vì cơ số 3 là số dương lớn hơn 1, nên ta có thể so sánh các mũ của chúng:
   $$
   2x - 5 > -2
   $$

3. Giải bất phương trình bậc nhất:
   Ta giải bất phương trình này như sau:
   $$
   2x - 5 > -2
   $$
   $$
   2x > -2 + 5
   $$
   $$
   2x > 3
   $$
   $$
   x > \frac{3}{2}
   $$

4. Tập nghiệm của bất phương trình:
   Tập nghiệm của bất phương trình là:
   $$
   S = \left( \frac{3}{2}, +\infty \right)
   $$

5. Xác định giá trị của $a$ và $b$:
   Trong phân số tối giản $\frac{3}{2}$, ta có $a = 3$ và $b = 2$.

6. Tính tổng $a + b$:
   $$
   a + b = 3 + 2 = 5
   $$

Vậy giá trị của $a + b$ là $\boxed{5}$.

Câu 2.
Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng [S,AC,B]. Ta gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC là tam giác đều nên SH vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác SBC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC, nên SH cũng vuông góc với mặt phẳng ABC. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng [S,AC,B] là góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng ABC, tức là góc SHB.

Ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan:
- Vì tam giác SBC là tam giác đều cạnh 2a, nên SH = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2a = a\sqrt{3}$.
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và $\widehat{ABC} = 60^\circ$, nên ta có AB = a và AC = a$\sqrt{3}$.

Do H là trung điểm của BC, nên BH = HC = a. Ta tính góc SHB bằng cách sử dụng công thức tính tang của góc:
$$ \tan(\angle SHB) = \frac{SH}{BH} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} $$

Vậy, $\tan(p) = \sqrt{3}$.

Đáp số: $\tan(p) = \sqrt{3}$.

Câu 3.
Để tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tổng số cách xếp 7 bạn vào hàng ngang:
   - Số cách xếp 7 bạn vào hàng ngang là $7!$.

$$
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040
$$

2. Tính số cách xếp sao cho cả hai bạn Việt và Nam không đứng ở đầu hàng:
   - Đầu tiên, chọn 1 trong 5 bạn khác (không phải Việt và Nam) đứng ở vị trí đầu tiên. Có 5 cách chọn.
   - Sau đó, chọn 1 trong 5 bạn còn lại (không phải Việt và Nam) đứng ở vị trí cuối cùng. Có 5 cách chọn.
   - Cuối cùng, xếp 5 bạn còn lại vào 5 vị trí còn lại. Có $5!$ cách xếp.

$$
5 \times 5 \times 5! = 5 \times 5 \times 120 = 3000
$$

3. Tính số cách xếp sao cho ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng:
   - Số cách xếp sao cho ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng là tổng số cách xếp trừ đi số cách xếp sao cho cả hai bạn Việt và Nam không đứng ở đầu hàng.

$$
5040 - 3000 = 2040
$$

4. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng":
   - Xác suất của biến cố này là số cách xếp sao cho ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng chia cho tổng số cách xếp.

$$
P = \frac{2040}{5040} \approx 0.40476
$$

- Làm tròn đến hàng phần trăm:

$$
P \approx 0.40
$$

Vậy xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Việt và Nam đứng ở đầu hàng" là 0.40 hoặc 40%.

Câu 4.
Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10.
- Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- $ SC = 10\sqrt{5} $.
- M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.

Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
- Gọi A(0, 0, 0), B(10, 0, 0), C(10, 10, 0), D(0, 10, 0).
- Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta có S(0, 0, h).

Bước 2: Tìm tọa độ của S.
- Ta biết $ SC = 10\sqrt{5} $. 
- Tọa độ của C là (10, 10, 0), tọa độ của S là (0, 0, h).
- Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
$$ SC = \sqrt{(10 - 0)^2 + (10 - 0)^2 + (0 - h)^2} = 10\sqrt{5} $$
$$ \sqrt{10^2 + 10^2 + h^2} = 10\sqrt{5} $$
$$ \sqrt{200 + h^2} = 10\sqrt{5} $$
$$ 200 + h^2 = 500 $$
$$ h^2 = 300 $$
$$ h = 10\sqrt{3} $$

Vậy tọa độ của S là (0, 0, 10√3).

Bước 3: Tìm tọa độ của M và N.
- M là trung điểm của SA, nên tọa độ của M là:
$$ M = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+10\sqrt{3}}{2} \right) = (0, 0, 5\sqrt{3}) $$
- N là trung điểm của CD, nên tọa độ của N là:
$$ N = \left( \frac{10+0}{2}, \frac{10+10}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (5, 10, 0) $$

Bước 4: Xác định đường thẳng BD và MN.
- Đường thẳng BD đi qua B(10, 0, 0) và D(0, 10, 0).
- Đường thẳng MN đi qua M(0, 0, 5√3) và N(5, 10, 0).

Bước 5: Tìm vectơ chỉ phương của BD và MN.
- Vectơ BD: $\overrightarrow{BD} = (-10, 10, 0)$
- Vectơ MN: $\overrightarrow{MN} = (5, 10, -5\sqrt{3})$

Bước 6: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BD và MN.
- Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BD và MN.
- Ta có:
$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{MN} $$
$$ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-10 & 10 & 0 \
5 & 10 & -5\sqrt{3}
\end{vmatrix} $$
$$ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(10 \cdot (-5\sqrt{3}) - 0 \cdot 10) - \mathbf{j}((-10) \cdot (-5\sqrt{3}) - 0 \cdot 5) + \mathbf{k}((-10) \cdot 10 - 10 \cdot 5) $$
$$ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-50\sqrt{3}) - \mathbf{j}(50\sqrt{3}) + \mathbf{k}(-150) $$
$$ \overrightarrow{n} = (-50\sqrt{3}, -50\sqrt{3}, -150) $$

Bước 7: Tìm khoảng cách d giữa BD và MN.
- Chọn điểm B(10, 0, 0) trên BD và điểm M(0, 0, 5√3) trên MN.
- Khoảng cách d giữa BD và MN là:
$$ d = \frac{|\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} $$
- Vectơ BM: $\overrightarrow{BM} = (-10, 0, 5\sqrt{3})$
- Tích vô hướng $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{n}$:
$$ \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{n} = (-10) \cdot (-50\sqrt{3}) + 0 \cdot (-50\sqrt{3}) + (5\sqrt{3}) \cdot (-150) $$
$$ = 500\sqrt{3} - 750\sqrt{3} $$
$$ = -250\sqrt{3} $$
- Độ dài vectơ $\overrightarrow{n}$:
$$ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-50\sqrt{3})^2 + (-50\sqrt{3})^2 + (-150)^2} $$
$$ = \sqrt{7500 + 7500 + 22500} $$
$$ = \sqrt{37500} $$
$$ = 50\sqrt{15} $$
- Khoảng cách d:
$$ d = \frac{|-250\sqrt{3}|}{50\sqrt{15}} $$
$$ = \frac{250\sqrt{3}}{50\sqrt{15}} $$
$$ = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{15}} $$
$$ = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} $$
$$ = \frac{5}{\sqrt{5}} $$
$$ = \sqrt{5} $$

Vậy khoảng cách d giữa BD và MN là $\sqrt{5}$.

Câu 5
Để giải bất phương trình $\log^2_2x - 5\log_2x - 6 \leq 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ:
   Gọi $t = \log_2x$. Bất phương trình trở thành:
   $$
   t^2 - 5t - 6 \leq 0
   $$

2. Giải bất phương trình bậc hai:
   Ta giải phương trình bậc hai $t^2 - 5t - 6 = 0$ để tìm các nghiệm:
   $$
   t^2 - 5t - 6 = 0
   $$
   Tìm nghiệm của phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
   $$
   t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $a = 1$, $b = -5$, $c = -6$, ta có:
   $$
   t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}
   $$
   Vậy các nghiệm là:
   $$
   t_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1
   $$

3. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình:
   Bất phương trình $t^2 - 5t - 6 \leq 0$ có nghiệm trong khoảng giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai:
   $$
   -1 \leq t \leq 6
   $$

4. Quay về biến ban đầu:
   Ta có $t = \log_2x$, vậy:
   $$
   -1 \leq \log_2x \leq 6
   $$
   Đổi về dạng lũy thừa:
   $$
   2^{-1} \leq x \leq 2^6
   $$
   $$
   \frac{1}{2} \leq x \leq 64
   $$

5. Tìm các nghiệm nguyên:
   Các số nguyên nằm trong khoảng $\frac{1}{2} \leq x \leq 64$ là:
   $$
   x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64
   $$

Số lượng các nghiệm nguyên là:
   $$
   64 - 1 + 1 = 64
   $$

Đáp số: 64 nghiệm nguyên.

Câu 6
Điều kiện: $ x > 0 $ và $ y > 0 $.

Ta có:
$$ P = \left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y} + \frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y} \right) \frac{x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x + y} - \frac{2y}{x - y} $$

Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phân thức trong ngoặc.

Xét phân thức đầu tiên:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y} $$
Chúng ta thấy rằng $ xy^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $. Do đó:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y} = \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} $$

Xét phân thức thứ hai:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y} $$
Chúng ta thấy rằng $ xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $. Do đó:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} $$

Bây giờ, ta cộng hai phân thức này lại:
$$ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} $$

Chúng ta thấy rằng:
$$ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x - y)} = \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}(x - y)} $$

Nhân với $\frac{x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x + y}$:
$$ \left( \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}(x - y)} \right) \frac{x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x + y} = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{(x - y)(x + y)} = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{x^2 - y^2} $$

Cuối cùng, trừ đi $\frac{2y}{x - y}$:
$$ P = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{x^2 - y^2} - \frac{2y}{x - y} = \frac{2x^{\frac{3}{2}} - 2y(x + y)}{x^2 - y^2} = \frac{2x^{\frac{3}{2}} - 2yx - 2y^2}{x^2 - y^2} $$

Do đó, giá trị của $ P $ là:
$$ P = \frac{2x^{\frac{3}{2}} - 2yx - 2y^2}{x^2 - y^2} $$

Câu 1
Để tính thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích đáy của khối lăng trụ lục giác đều:
   - Diện tích đáy của một khối lăng trụ lục giác đều được tính bằng công thức:
     $$
     S_{\text{đáy}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2
     $$
     trong đó $ a $ là độ dài cạnh của lục giác đều.

- Với $ a = 21,5 $ cm, ta có:
     $$
     S_{\text{đáy}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (21,5)^2
     $$

- Tính $ (21,5)^2 $:
     $$
     (21,5)^2 = 462,25
     $$

- Thay vào công thức:
     $$
     S_{\text{đáy}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 462,25
     $$

- Tính $ \frac{3 \sqrt{3}}{2} $:
     $$
     \frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2,598
     $$

- Vậy diện tích đáy là:
     $$
     S_{\text{đáy}} \approx 2,598 \times 462,25 \approx 1200,07 \text{ cm}^2
     $$

2. Tính thể tích của khối lăng trụ lục giác đều:
   - Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức:
     $$
     V = S_{\text{đáy}} \times h
     $$
     trong đó $ h $ là chiều cao của khối lăng trụ.

- Với $ h = 4 $ cm, ta có:
     $$
     V \approx 1200,07 \times 4 \approx 4800,28 \text{ cm}^3
     $$

3. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười:
   - Kết quả cuối cùng là:
     $$
     V \approx 4800,3 \text{ cm}^3
     $$

Vậy thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch là $ 4800,3 \text{ cm}^3 $.