Giup mik voi

Câu 1: a) Ta có: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{1 - x^2} \] Phân tích mẫu số: \[ 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \] Phân tích tử số: \[ 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) \] Do đó: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 1)(x - 1)}{(1 - x)(1 + x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 1)(x - 1)}{-(x - 1)(1 + x)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x - 1}{-(1 + x)} = \frac{2(1) - 1}{-(1 + 1)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4 - x^2}{\sqrt{x + 7} - 3} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x + 7 - 9} = \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} \] Phân tích tử số: \[ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(2 - x)(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} -(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3) = -(2 + 2)(\sqrt{2 + 7} + 3) = -4 \cdot 6 = -24 \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x^2 + 4} - 2}{4 - \sqrt{2x^2 + 8}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt[3]{x^2 + 4} - 2)(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)}{(4 - \sqrt{2x^2 + 8})(4 + \sqrt{2x^2 + 8})} \] Phân tích mẫu số: \[ 4 - \sqrt{2x^2 + 8} = \frac{(4 - \sqrt{2x^2 + 8})(4 + \sqrt{2x^2 + 8})}{4 + \sqrt{2x^2 + 8}} = \frac{16 - (2x^2 + 8)}{4 + \sqrt{2x^2 + 8}} = \frac{8 - 2x^2}{4 + \sqrt{2x^2 + 8}} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt[3]{x^2 + 4} - 2)(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)}{\frac{8 - 2x^2}{4 + \sqrt{2x^2 + 8}}} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt[3]{x^2 + 4} - 2)(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)(4 + \sqrt{2x^2 + 8})}{8 - 2x^2} \] Phân tích tử số: \[ \sqrt[3]{x^2 + 4} - 2 = \frac{(x^2 + 4) - 8}{\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4} = \frac{x^2 - 4}{\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^2 - 4}{\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4}(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)(4 + \sqrt{2x^2 + 8})}{8 - 2x^2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)(4 + \sqrt{2x^2 + 8})}{(8 - 2x^2)(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)(4 + \sqrt{2x^2 + 8})}{-2(x - 2)(x + 2)(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{4 + \sqrt{2x^2 + 8}}{-2(\sqrt[3]{(x^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{x^2 + 4} + 4)} = \frac{4 + \sqrt{2(2)^2 + 8}}{-2(\sqrt[3]{(2^2 + 4)^2} + 2\sqrt[3]{2^2 + 4} + 4)} = \frac{4 + 4}{-2(16 + 8 + 4)} = \frac{8}{-48} = -\frac{1}{6} \] d) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^4 + x^3 - 2x^2 - 3}{x - 2x^4} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x^4 \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4}}{\frac{1}{x^3} - 2} = \frac{2 + 0 - 0 - 0}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1 \] e) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + 3x}{\sqrt{4x^2 + 1} - x + 2} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + 3x}{\sqrt{4x^2 + 1} - x + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 3}{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} - 1 + \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{1 + 0} + 3}{\sqrt{4 + 0} - 1 + 0} = \frac{1 + 3}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 \] f) Ta có: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} \] Khi \( x \to 2^- \), ta có \( |2 - x| = 2 - x \). Phân tích mẫu số: \[ 2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{(2x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)}{(2x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{2x - 1} = \frac{-1}{2(2) - 1} = \frac{-1}{3} \] Đáp số: a) \( -\frac{1}{2} \) b) \( -24 \) c) \( -\frac{1}{6} \) d) \( -1 \) e) \( 4 \) f) \( -\frac{1}{3} \) Câu 2: a) Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = -2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 1)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to -2} (x + 1) = -2 + 1 = -1 \] Do đó, để hàm số liên tục tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = m = -1 \] Vậy \( m = -1 \). b) Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \] Tính giới hạn từ bên trái: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + x) = 1^2 + 1 = 2 \] Tính giới hạn từ bên phải: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (mx + 1) = m \cdot 1 + 1 = m + 1 \] Do đó, để hàm số liên tục tại \( x = 1 \): \[ m + 1 = 2 \] \[ m = 1 \] Vậy \( m = 1 \). Câu 3: a) Ta có: - Trong hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC và BD. - Trong hình bình hành ABEF, O' là trung điểm của AE và BF. Do đó, ta có: - OO' song song với $\frac{1}{2}$(DF) vì O và O' là trung điểm của BD và BF tương ứng. - OO' song song với $\frac{1}{2}$(CE) vì O và O' là trung điểm của AC và AE tương ứng. Vậy OO' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) Ta có: - Trong tam giác ABD, G là trọng tâm nên G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2 : 1. - Trong tam giác ABF, G' là trọng tâm nên G' chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2 : 1. Do đó, ta có: - GG' song song với $\frac{1}{3}$(DF) vì G và G' là trọng tâm của tam giác ABD và ABF tương ứng. - GG' song song với $\frac{1}{3}$(CE) vì G và G' là trọng tâm của tam giác ABD và ABF tương ứng. Vậy GG' song song với mặt phẳng (DCEF). Câu 4: a) Ta có $NQ$ là đường trung bình của tam giác $AAD'$ nên $NQ // A'D'$ và $NQ = \frac{1}{2}A'D'$ b) Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABB'$ nên $MN // AB'$ và $MN = \frac{1}{2}AB'$. Lại có $QC$ là đường trung bình của tam giác $CC'D'$ nên $QC // CD'$ và $QC = \frac{1}{2}CD'$. Mà $AB' // CD'$ nên $MN // QC$. Suy ra tứ giác $MNQC$ là hình bình hành. c) Ta có $MN // AB'$. Mà $AB' \subset (ACD')$ nên $MN // (ACD')$. d) Ta có $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ADD'$ nên $PQ // AD$. Mà $AD \subset (ACD')$ nên $PQ // (ACD')$. Mặt khác, $MN // (ACD')$ và $MN \cap PQ = N$. Suy ra $(MNP) // (ACD')$.