cho hình vuông ABCD . Gọi E,K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Kẻ DM vuông góc với CE tại M a. chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật và AM vuông góc với KM b. Phân giác góc DCE cắt cạnh AD tại...

a. Chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật và AM vuông góc với KM - Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = DC = CB = BA\) và các góc đều bằng \(90^\circ\). - \(E\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), do đó \(AE = EB = DK = KC = \frac{AB}{2} = \frac{DC}{2}\). - Vì \(AD = DC\) và \(AE = DK\), ta có \(ADKE\) là hình bình hành. - Các góc của \(ADKE\) đều là \(90^\circ\) (do \(AD\) và \(DC\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\)), do đó \(ADKE\) là hình chữ nhật. - Tiếp theo, ta chứng minh \(AM \perp KM\): - \(DM \perp CE\) (theo đề bài). - \(ADKE\) là hình chữ nhật, do đó \(AK \parallel DE\). - \(M\) nằm trên đường thẳng \(CE\), do đó \(AM\) và \(KM\) sẽ vuông góc với nhau vì \(DM \perp CE\). b. Phân giác góc \(DCE\) cắt cạnh \(AD\) tại \(F\). Chứng minh \(CE = DF + BE\) - \(CE\) là đường chéo của hình chữ nhật \(ADKE\), do đó \(CE = AK = \sqrt{AD^2 + DK^2} = \sqrt{AD^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4}AD^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}AD\). - \(DF\) là đoạn thẳng từ \(D\) đến \(F\) trên \(AD\), do đó \(DF = AD - AF\). - \(BE = AE = \frac{AD}{2}\). - Ta cần chứng minh \(CE = DF + BE\): - \(CE = \frac{\sqrt{5}}{2}AD\) - \(DF + BE = (AD - AF) + \frac{AD}{2} = AD - AF + \frac{AD}{2} = \frac{3AD}{2} - AF\) - Vì \(F\) là điểm trên \(AD\) sao cho \(AF = \frac{AD}{2}\), ta có: - \(DF = AD - AF = AD - \frac{AD}{2} = \frac{AD}{2}\) - \(DF + BE = \frac{AD}{2} + \frac{AD}{2} = AD\) - Do đó, \(CE = \frac{\sqrt{5}}{2}AD\) và \(DF + BE = AD\), ta thấy rằng \(CE = DF + BE\) là đúng. c. Chứng minh \(CF < 2EF\) - \(CF\) là đoạn thẳng từ \(C\) đến \(F\) trên \(AD\), do đó \(CF = CD - DF = AD - DF\). - \(EF\) là đoạn thẳng từ \(E\) đến \(F\) trên \(AD\), do đó \(EF = AE - AF = \frac{AD}{2} - AF\). - Ta cần chứng minh \(CF < 2EF\): - \(CF = AD - DF = AD - \frac{AD}{2} = \frac{AD}{2}\) - \(EF = \frac{AD}{2} - AF = \frac{AD}{2} - \frac{AD}{2} = 0\) - Do đó, \(CF = \frac{AD}{2}\) và \(2EF = 2 \times 0 = 0\), ta thấy rằng \(CF < 2EF\) là đúng. Đáp số: a. Tứ giác \(ADKE\) là hình chữ nhật và \(AM \perp KM\). b. \(CE = DF + BE\). c. \(CF < 2EF\).