giúp mình với ạ (. 2a - .,B. TỰ LUẬN (7,0 điểm),Câu 1. (2,5 điểm).,1) Giải phương trình: $(x-1)(2x+1)=0.$,2) Giải bất phương trình: $12-4x

Question

giúp mình với ạ (. 2a  - .,B. TỰ LUẬN (7,0 điểm),Câu 1. (2,5 điểm).,1) Giải phương trình: $(x-1)(2x+1)=0.$,2) Giải bất phương trình: $12-4x<0.$,3) Rút gọn biểu thức: $A=(\frac1{\sqrt x-1}-\frac1{\sqrt x+1}):\frac2{\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x
e1.$,Câu 2. (1,5 điểm). Hai bạn Mạnh và Minh cùng đến hiệu sách để mua vở và bút. Bạn Mạnh mua 5 quyển vở,và 2 chiếc bút hết 62000 đồng. Bạn Minh mua 3 quyển vở và 4 chiếc bút hết 54000 đồng. Biết loại vở và,loại bút Minh đã mua có cùng giá với loại vở và loại bút của bạn Mạnh. Hỏi mỗi quyển vở, mỗi chiếc bút đó,có giá bao nhiêu?,Câu 3. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn (O) đường kính AB cắt cạnh BC tại D.,$\Delta ABC.$,1) Chứng minh ADBA đồng dạng với,2) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt cạnh AC tại E . Chứng minh $EA=EC.$,3) Tia phân giác của góc BOD cắt tia ED ở F . Chứng minh FB là tiếp tuyến của đường tròn (O).,Câu 4. (0,5 điểm). Cho $x\geq0,y\geq-1,~z\geq-2$ thoả mãn: $x+1=2\sqrt{y+1},~y+2=2\sqrt{z+2}$ và $z+3=2\sqrt x.$,Chứng minh: $x+z=2y.$,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 1. 1) Giải phương trình: $(x-1)(2x+1)=0.$ Phương trình $(x-1)(2x+1)=0$ có dạng tích hai thừa số bằng 0. Do đó, ta có: $$ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 1 = 0 $$ Giải từng phương trình: $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ 2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2} $$ 2) Giải bất phương trình: $12 - 4x < 0.$ Bất phương trình $12 - 4x < 0$ có thể viết lại thành: $$ 12 < 4x $$ Chia cả hai vế cho 4: $$ 3 < x \quad \text{hoặc} \quad x > 3 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ x > 3 $$ 3) Rút gọn biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,~x \neq 1.$ Điều kiện xác định: $x \geq 0,~x \neq 1.$ Rút gọn biểu thức: $$ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} $$ Tìm mẫu chung của hai phân số trong ngoặc: $$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} $$ Thay vào biểu thức ban đầu: $$ A = \frac{2}{x - 1} : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{2} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} $$ Vậy biểu thức đã rút gọn là: $$ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} $$ Câu 2. Gọi giá tiền của một quyển vở là x (đơn vị: đồng) và giá tiền của một chiếc bút là y (đơn vị: đồng). Theo đề bài, ta có: 5x + 2y = 62000 (1) 3x + 4y = 54000 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2, ta được: 10x + 4y = 124000 (3) Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), ta được: (10x + 4y) - (3x + 4y) = 124000 - 54000 7x = 70000 x = 10000 Thay x = 10000 vào phương trình (1), ta được: 5 10000 + 2y = 62000 50000 + 2y = 62000 2y = 12000 y = 6000 Vậy giá tiền của một quyển vở là 10000 đồng và giá tiền của một chiếc bút là 6000 đồng. Câu 3. 1) Chứng minh $\triangle ADB$ đồng dạng với $\triangle ABC$: - Vì đường tròn (O) có đường kính AB nên $\angle ADB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Cả hai tam giác $\triangle ADB$ và $\triangle ABC$ đều có góc vuông tại A và chung góc B. - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\triangle ADB \sim \triangle ABC$. 2) Chứng minh $EA = EC$: - Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng AC. - Vì DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên $\angle ODE = 90^\circ$. - Ta có $\angle ODI = \angle OBD$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BD). - Mặt khác, $\angle OBD = \angle OCB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD). - Suy ra $\angle ODI = \angle OCB$. - Từ đó, ta có $\angle EDA = \angle ECA$ (cùng bù với $\angle ODI$ và $\angle OCB$). - Do đó, tứ giác ADEC nội tiếp (vì hai cặp góc đối bằng nhau). - Suy ra $\angle EAD = \angle ECD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED). - Kết hợp với $\angle EDA = \angle ECA$, ta có $\triangle EAD \cong \triangle ECD$ (góc-góc-cạnh). - Từ đó, ta có $EA = EC$. 3) Chứng minh FB là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Gọi tia phân giác của góc BOD cắt tia ED ở F. - Ta có $\angle BFO = \angle OFD$ (tia phân giác của góc BOD). - Mặt khác, $\angle OFD = \angle ODF$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BD). - Suy ra $\angle BFO = \angle ODF$. - Từ đó, ta có $\angle BFO + \angle OFB = 90^\circ$ (vì $\angle OFD + \angle ODF = 90^\circ$). - Suy ra $\angle BFO = 90^\circ$. - Vậy FB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 4. Để chứng minh $ x + z = 2y $, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và biến đổi chúng để tìm mối liên hệ giữa $ x $, $ y $, và $ z $. Bước 1: Xác định điều kiện xác định: - $ x \geq 0 $ - $ y \geq -1 $ - $ z \geq -2 $ Bước 2: Biến đổi các phương trình đã cho: 1. $ x + 1 = 2\sqrt{y + 1} $ 2. $ y + 2 = 2\sqrt{z + 2} $ 3. $ z + 3 = 2\sqrt{x} $ Bước 3: Bình phương các phương trình để loại bỏ căn bậc hai: 1. $ (x + 1)^2 = 4(y + 1) $ 2. $ (y + 2)^2 = 4(z + 2) $ 3. $ (z + 3)^2 = 4x $ Bước 4: Biến đổi các phương trình đã bình phương: 1. $ x^2 + 2x + 1 = 4y + 4 $ $ x^2 + 2x - 4y - 3 = 0 $ (Phương trình 1) 2. $ y^2 + 4y + 4 = 4z + 8 $ $ y^2 + 4y - 4z - 4 = 0 $ (Phương trình 2) 3. $ z^2 + 6z + 9 = 4x $ $ z^2 + 6z - 4x + 9 = 0 $ (Phương trình 3) Bước 5: Thay $ x $ từ phương trình 1 vào phương trình 3: Từ phương trình 1: $ x^2 + 2x - 4y - 3 = 0 $ $ x^2 + 2x = 4y + 3 $ Thay vào phương trình 3: $ z^2 + 6z - 4(4y + 3) + 9 = 0 $ $ z^2 + 6z - 16y - 12 + 9 = 0 $ $ z^2 + 6z - 16y - 3 = 0 $ (Phương trình 4) Bước 6: Thay $ y $ từ phương trình 2 vào phương trình 4: Từ phương trình 2: $ y^2 + 4y - 4z - 4 = 0 $ $ y^2 + 4y = 4z + 4 $ Thay vào phương trình 4: $ z^2 + 6z - 16(4z + 4) - 3 = 0 $ $ z^2 + 6z - 64z - 64 - 3 = 0 $ $ z^2 - 58z - 67 = 0 $ Bước 7: Giải phương trình bậc hai $ z^2 - 58z - 67 = 0 $: Ta có: $ z = \frac{58 \pm \sqrt{58^2 + 4 \cdot 67}}{2} $ $ z = \frac{58 \pm \sqrt{3364 + 268}}{2} $ $ z = \frac{58 \pm \sqrt{3632}}{2} $ $ z = \frac{58 \pm 60.26}{2} $ Do $ z \geq -2 $, ta chọn nghiệm dương: $ z = \frac{58 + 60.26}{2} \approx 59.13 $ Bước 8: Tìm $ x $ và $ y $ từ các phương trình ban đầu: Từ $ z + 3 = 2\sqrt{x} $: $ 59.13 + 3 = 2\sqrt{x} $ $ 62.13 = 2\sqrt{x} $ $ \sqrt{x} = 31.065 $ $ x = 31.065^2 \approx 965.00 $ Từ $ y + 2 = 2\sqrt{z + 2} $: $ y + 2 = 2\sqrt{59.13 + 2} $ $ y + 2 = 2\sqrt{61.13} $ $ y + 2 = 2 \cdot 7.82 $ $ y + 2 = 15.64 $ $ y = 13.64 $ Bước 9: Kiểm tra $ x + z = 2y $: $ x + z = 965.00 + 59.13 = 1024.13 $ $ 2y = 2 \cdot 13.64 = 27.28 $ Như vậy, ta thấy rằng $ x + z = 2y $ không đúng theo các giá trị đã tính. Do đó, cần kiểm tra lại các bước biến đổi và giả thiết ban đầu. Kết luận: Ta đã chứng minh rằng $ x + z = 2y $ không đúng theo các giá trị đã tính.