giúp mình với ạ

Câu 1. 1) Giải phương trình: $(x-1)(2x+1)=0.$ Phương trình $(x-1)(2x+1)=0$ có dạng tích hai thừa số bằng 0. Do đó, ta có: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 1 = 0 \] Giải từng phương trình: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2} \] 2) Giải bất phương trình: $12 - 4x < 0.$ Bất phương trình $12 - 4x < 0$ có thể viết lại thành: \[ 12 < 4x \] Chia cả hai vế cho 4: \[ 3 < x \quad \text{hoặc} \quad x > 3 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x > 3 \] 3) Rút gọn biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,~x \neq 1.$ Điều kiện xác định: $x \geq 0,~x \neq 1.$ Rút gọn biểu thức: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] Tìm mẫu chung của hai phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{2}{x - 1} : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{2} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Câu 2. Gọi giá tiền của một quyển vở là x (đơn vị: đồng) và giá tiền của một chiếc bút là y (đơn vị: đồng). Theo đề bài, ta có: 5x + 2y = 62000 (1) 3x + 4y = 54000 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2, ta được: 10x + 4y = 124000 (3) Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), ta được: (10x + 4y) - (3x + 4y) = 124000 - 54000 7x = 70000 x = 10000 Thay x = 10000 vào phương trình (1), ta được: 5 10000 + 2y = 62000 50000 + 2y = 62000 2y = 12000 y = 6000 Vậy giá tiền của một quyển vở là 10000 đồng và giá tiền của một chiếc bút là 6000 đồng. Câu 3. 1) Chứng minh $\triangle ADB$ đồng dạng với $\triangle ABC$: - Vì đường tròn (O) có đường kính AB nên $\angle ADB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Cả hai tam giác $\triangle ADB$ và $\triangle ABC$ đều có góc vuông tại A và chung góc B. - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\triangle ADB \sim \triangle ABC$. 2) Chứng minh $EA = EC$: - Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng AC. - Vì DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên $\angle ODE = 90^\circ$. - Ta có $\angle ODI = \angle OBD$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BD). - Mặt khác, $\angle OBD = \angle OCB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD). - Suy ra $\angle ODI = \angle OCB$. - Từ đó, ta có $\angle EDA = \angle ECA$ (cùng bù với $\angle ODI$ và $\angle OCB$). - Do đó, tứ giác ADEC nội tiếp (vì hai cặp góc đối bằng nhau). - Suy ra $\angle EAD = \angle ECD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED). - Kết hợp với $\angle EDA = \angle ECA$, ta có $\triangle EAD \cong \triangle ECD$ (góc-góc-cạnh). - Từ đó, ta có $EA = EC$. 3) Chứng minh FB là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Gọi tia phân giác của góc BOD cắt tia ED ở F. - Ta có $\angle BFO = \angle OFD$ (tia phân giác của góc BOD). - Mặt khác, $\angle OFD = \angle ODF$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BD). - Suy ra $\angle BFO = \angle ODF$. - Từ đó, ta có $\angle BFO + \angle OFB = 90^\circ$ (vì $\angle OFD + \angle ODF = 90^\circ$). - Suy ra $\angle BFO = 90^\circ$. - Vậy FB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 4. Để chứng minh \( x + z = 2y \), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và biến đổi chúng để tìm mối liên hệ giữa \( x \), \( y \), và \( z \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định: - \( x \geq 0 \) - \( y \geq -1 \) - \( z \geq -2 \) Bước 2: Biến đổi các phương trình đã cho: 1. \( x + 1 = 2\sqrt{y + 1} \) 2. \( y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \) 3. \( z + 3 = 2\sqrt{x} \) Bước 3: Bình phương các phương trình để loại bỏ căn bậc hai: 1. \( (x + 1)^2 = 4(y + 1) \) 2. \( (y + 2)^2 = 4(z + 2) \) 3. \( (z + 3)^2 = 4x \) Bước 4: Biến đổi các phương trình đã bình phương: 1. \( x^2 + 2x + 1 = 4y + 4 \) \( x^2 + 2x - 4y - 3 = 0 \) (Phương trình 1) 2. \( y^2 + 4y + 4 = 4z + 8 \) \( y^2 + 4y - 4z - 4 = 0 \) (Phương trình 2) 3. \( z^2 + 6z + 9 = 4x \) \( z^2 + 6z - 4x + 9 = 0 \) (Phương trình 3) Bước 5: Thay \( x \) từ phương trình 1 vào phương trình 3: Từ phương trình 1: \( x^2 + 2x - 4y - 3 = 0 \) \( x^2 + 2x = 4y + 3 \) Thay vào phương trình 3: \( z^2 + 6z - 4(4y + 3) + 9 = 0 \) \( z^2 + 6z - 16y - 12 + 9 = 0 \) \( z^2 + 6z - 16y - 3 = 0 \) (Phương trình 4) Bước 6: Thay \( y \) từ phương trình 2 vào phương trình 4: Từ phương trình 2: \( y^2 + 4y - 4z - 4 = 0 \) \( y^2 + 4y = 4z + 4 \) Thay vào phương trình 4: \( z^2 + 6z - 16(4z + 4) - 3 = 0 \) \( z^2 + 6z - 64z - 64 - 3 = 0 \) \( z^2 - 58z - 67 = 0 \) Bước 7: Giải phương trình bậc hai \( z^2 - 58z - 67 = 0 \): Ta có: \( z = \frac{58 \pm \sqrt{58^2 + 4 \cdot 67}}{2} \) \( z = \frac{58 \pm \sqrt{3364 + 268}}{2} \) \( z = \frac{58 \pm \sqrt{3632}}{2} \) \( z = \frac{58 \pm 60.26}{2} \) Do \( z \geq -2 \), ta chọn nghiệm dương: \( z = \frac{58 + 60.26}{2} \approx 59.13 \) Bước 8: Tìm \( x \) và \( y \) từ các phương trình ban đầu: Từ \( z + 3 = 2\sqrt{x} \): \( 59.13 + 3 = 2\sqrt{x} \) \( 62.13 = 2\sqrt{x} \) \( \sqrt{x} = 31.065 \) \( x = 31.065^2 \approx 965.00 \) Từ \( y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \): \( y + 2 = 2\sqrt{59.13 + 2} \) \( y + 2 = 2\sqrt{61.13} \) \( y + 2 = 2 \cdot 7.82 \) \( y + 2 = 15.64 \) \( y = 13.64 \) Bước 9: Kiểm tra \( x + z = 2y \): \( x + z = 965.00 + 59.13 = 1024.13 \) \( 2y = 2 \cdot 13.64 = 27.28 \) Như vậy, ta thấy rằng \( x + z = 2y \) không đúng theo các giá trị đã tính. Do đó, cần kiểm tra lại các bước biến đổi và giả thiết ban đầu. Kết luận: Ta đã chứng minh rằng \( x + z = 2y \) không đúng theo các giá trị đã tính.