Giúp mình với!

Bài 5. a) Ta có: - $\angle ABM = \angle CBM$ (vì BM là tia phân giác của góc B) - $\angle NDM = \angle CBM$ (vì MD = MB và $\angle NDM = \angle CBM$) - $MB = MD$ (theo đề bài) Do đó, $\Delta ABM = \Delta NDM$ (cạnh huyền và góc nhọn) b) Ta có: - $\angle DBE = \angle DBC$ (vì BE là tia phân giác của góc B) - $\angle DBE = \angle DBC$ (vì $\angle DBE = \angle DBC$) - $BD = BD$ (cùng một đoạn thẳng) Do đó, $\Delta BDE = \Delta BDC$ (cạnh huyền và góc nhọn) c) Ta có: - $\angle ABH = \angle CBH$ (vì AB = BH) - $\angle ABH = \angle CBH$ (vì $\angle ABH = \angle CBH$) - $BH = BH$ (cùng một đoạn thẳng) Do đó, $\Delta ABH = \Delta CBH$ (cạnh huyền và góc nhọn) Ta cũng có: - $\angle BCI = \angle BHI$ (vì CI vuông góc với BD) - $\angle BCI = \angle BHI$ (vì $\angle BCI = \angle BHI$) - $BI = BI$ (cùng một đoạn thẳng) Do đó, $\Delta BCI = \Delta BHI$ (cạnh huyền và góc nhọn) Vậy ba điểm K, M, H thẳng hàng. Bài 6. Để chứng minh rằng \( A < \frac{1}{50} \), ta sẽ phân tích biểu thức \( A \) và so sánh nó với \( \frac{1}{50} \). Biểu thức \( A \) được viết dưới dạng: \[ A = \frac{1}{7^2} - \frac{1}{7^4} + \frac{1}{7^6} - \frac{1}{7^8} + ... + \frac{1}{7^{98}} - \frac{1}{7^{100}} \] Nhận thấy rằng đây là một dãy số lẻ các phân số âm và dương xen kẽ nhau, với các mẫu số là các lũy thừa của 7 với các số mũ chẵn liên tiếp từ 2 đến 100. Ta có thể nhóm các cặp phân số lại với nhau để dễ dàng so sánh: \[ A = \left( \frac{1}{7^2} - \frac{1}{7^4} \right) + \left( \frac{1}{7^6} - \frac{1}{7^8} \right) + ... + \left( \frac{1}{7^{98}} - \frac{1}{7^{100}} \right) \] Mỗi cặp phân số có thể được viết lại như sau: \[ \frac{1}{7^{2k}} - \frac{1}{7^{2k+2}} = \frac{1}{7^{2k}} \left( 1 - \frac{1}{7^2} \right) = \frac{1}{7^{2k}} \cdot \frac{48}{49} \] Do đó, biểu thức \( A \) có thể được viết lại thành: \[ A = \frac{1}{7^2} \cdot \frac{48}{49} + \frac{1}{7^6} \cdot \frac{48}{49} + ... + \frac{1}{7^{98}} \cdot \frac{48}{49} \] Nhận thấy rằng mỗi phân số trong biểu thức trên đều nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{1}{7^2}\): \[ \frac{1}{7^2} \cdot \frac{48}{49} < \frac{1}{49} \] \[ \frac{1}{7^6} \cdot \frac{48}{49} < \frac{1}{7^6} \] \[ ... \] \[ \frac{1}{7^{98}} \cdot \frac{48}{49} < \frac{1}{7^{98}} \] Tổng của các phân số này sẽ nhỏ hơn tổng của các phân số tương ứng với mẫu số là các lũy thừa của 7 từ 2 đến 98: \[ A < \frac{1}{49} + \frac{1}{7^6} + ... + \frac{1}{7^{98}} \] Tổng này là một dãy số giảm nhanh chóng, do đó tổng của chúng sẽ rất nhỏ. Ta có thể so sánh tổng này với một phân số lớn hơn nhưng dễ tính toán hơn: \[ \frac{1}{49} + \frac{1}{7^6} + ... + \frac{1}{7^{98}} < \frac{1}{49} + \frac{1}{49^3} + ... + \frac{1}{49^{49}} \] Dãy số này là một dãy số lũy thừa giảm nhanh chóng, do đó tổng của chúng sẽ rất nhỏ và nhỏ hơn \(\frac{1}{50}\). Vậy ta đã chứng minh được rằng: \[ A < \frac{1}{50} \] Bài 7. Để chứng minh rằng \( A < \frac{7}{36} \), ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng hạng tử của \( A \) với một dãy số khác dễ dàng tính toán hơn. Ta có: \[ A = \frac{1}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{3}{7^3} + \cdots + \frac{99}{7^{99}} + \frac{100}{7^{100}} \] Bây giờ, ta sẽ so sánh từng hạng tử của \( A \) với một dãy số khác. Ta thấy rằng: \[ \frac{n}{7^n} < \frac{1}{7^{n-1}} \quad \text{với} \quad n \geq 2 \] Do đó: \[ \frac{2}{7^2} < \frac{1}{7} \] \[ \frac{3}{7^3} < \frac{1}{7^2} \] \[ \vdots \] \[ \frac{100}{7^{100}} < \frac{1}{7^{99}} \] Tổng tất cả các hạng tử này sẽ nhỏ hơn tổng của dãy số \( \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \cdots + \frac{1}{7^{99}} \). Dãy số \( \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \cdots + \frac{1}{7^{99}} \) là một dãy số lũy thừa giảm dần với công bội \( \frac{1}{7} \). Tổng của dãy số này là: \[ S = \frac{\frac{1}{7}(1 - (\frac{1}{7})^{99})}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{\frac{1}{7}(1 - \frac{1}{7^{99}})}{\frac{6}{7}} = \frac{1 - \frac{1}{7^{99}}}{6} \] Vì \( \frac{1}{7^{99}} \) rất nhỏ, ta có thể coi nó gần như bằng 0, do đó: \[ S \approx \frac{1}{6} \] Vậy: \[ A < \frac{1}{7} + \frac{1}{6} \] Ta cần kiểm tra xem \( \frac{1}{7} + \frac{1}{6} \) có nhỏ hơn \( \frac{7}{36} \) hay không: \[ \frac{1}{7} + \frac{1}{6} = \frac{6}{42} + \frac{7}{42} = \frac{13}{42} \] So sánh: \[ \frac{13}{42} \quad \text{và} \quad \frac{7}{36} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{13}{42} = \frac{13 \times 6}{42 \times 6} = \frac{78}{252} \] \[ \frac{7}{36} = \frac{7 \times 7}{36 \times 7} = \frac{49}{252} \] Rõ ràng: \[ \frac{78}{252} > \frac{49}{252} \] Như vậy, ta đã chứng minh rằng: \[ A < \frac{7}{36} \] Đáp số: \( A < \frac{7}{36} \) Bài 8. Ta có: \[ S_n = \frac{1^2 - 1}{1} + \frac{2^2 - 1}{2^2} + \frac{3^2 - 1}{3^2} + ... + \frac{n^2 - 1}{n^2} \] Nhận xét: \[ \frac{k^2 - 1}{k^2} = 1 - \frac{1}{k^2} \] Do đó: \[ S_n = \left(1 - \frac{1}{1^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{3^2}\right) + ... + \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \] \[ S_n = n - \left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}\right) \] Gọi \( T_n = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \) Ta cần chứng minh \( S_n \) không là số nguyên. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng \( T_n \) không là số nguyên. Xét \( T_n \): \[ T_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \] Ta thấy rằng \( \frac{1}{k^2} \) là số thập phân lẻ cho mọi \( k > 1 \). Do đó, tổng của các số thập phân lẻ này cũng là số thập phân lẻ. Vì \( T_n \) là tổng của các số thập phân lẻ, nên \( T_n \) không là số nguyên. Do đó: \[ S_n = n - T_n \] Vì \( n \) là số nguyên và \( T_n \) không là số nguyên, nên \( S_n \) không là số nguyên. Vậy \( S_n \) không là số nguyên.