Tìm min của B=x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000 \), ta sẽ nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. Ta có: \[ B = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ B = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 2xz + x^2 - 2x - 8z + 16) + 1983 \] Ta nhận thấy rằng: \[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \] \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \] \[ z^2 + 2xz + x^2 - 2x - 8z + 16 = (z + x - 4)^2 \] Do đó: \[ B = (x - y)^2 + (y - 1)^2 + (z + x - 4)^2 + 1983 \] Biểu thức \( B \) là tổng của các bình phương và một hằng số. Các bình phương luôn luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của \( B \) xảy ra khi tất cả các bình phương đều bằng 0. Điều này xảy ra khi: \[ x - y = 0 \] \[ y - 1 = 0 \] \[ z + x - 4 = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ y = 1 \] \[ x = y = 1 \] \[ z + 1 - 4 = 0 \Rightarrow z = 3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là: \[ B_{min} = 1983 \] Đạt được khi \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \). Đáp số: \( B_{min} = 1983 \) khi \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \).