Tìm min của B=x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ B = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000 $, ta sẽ nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh.

Ta có:
$$ B = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000 $$

Nhóm các hạng tử lại:
$$ B = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 2xz + x^2 - 2x - 8z + 16) + 1983 $$

Ta nhận thấy rằng:
$$ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 $$
$$ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 $$
$$ z^2 + 2xz + x^2 - 2x - 8z + 16 = (z + x - 4)^2 $$

Do đó:
$$ B = (x - y)^2 + (y - 1)^2 + (z + x - 4)^2 + 1983 $$

Biểu thức $ B $ là tổng của các bình phương và một hằng số. Các bình phương luôn luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của $ B $ xảy ra khi tất cả các bình phương đều bằng 0.

Điều này xảy ra khi:
$$ x - y = 0 $$
$$ y - 1 = 0 $$
$$ z + x - 4 = 0 $$

Giải hệ phương trình này:
$$ y = 1 $$
$$ x = y = 1 $$
$$ z + 1 - 4 = 0 \Rightarrow z = 3 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ B $ là:
$$ B_{min} = 1983 $$

Đạt được khi $ x = 1 $, $ y = 1 $, $ z = 3 $.

Đáp số: $ B_{min} = 1983 $ khi $ x = 1 $, $ y = 1 $, $ z = 3 $.