giải dùm mình với ạ

Câu 5: Để giải quyết các mệnh đề về tính chất của hàm số dựa vào đạo hàm, chúng ta sẽ phân tích dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng khác nhau. Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = (x + 1)^2 (1 - x) (x + 3) \] Ta xét dấu của mỗi nhân tử trong biểu thức đạo hàm: - $(x + 1)^2$: luôn dương hoặc bằng 0 (vì là bình phương). - $(1 - x)$: dương khi $x < 1$, âm khi $x > 1$. - $(x + 3)$: dương khi $x > -3$, âm khi $x < -3$. Bây giờ, ta lập bảng xét dấu của $f'(x)$: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline x + 3 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline 1 - x & + & + & + & + & + & 0 & - \\ \hline (x + 1)^2 & + & + & + & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} \] Từ bảng xét dấu trên, ta có: - $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-\infty, -3)$ và $(1, +\infty)$. - $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-3, -1)$ và $(-1, 1)$. Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: a) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. - Ta thấy $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x = 1$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. Mệnh đề này đúng. b) Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(-3)$. - Ta thấy $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương tại $x = -3$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x = -3$. Mệnh đề này đúng. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3, 1)$. - Trên khoảng $(-3, -1)$ và $(-1, 1)$, ta thấy $f'(x) > 0$, tức là hàm số đồng biến trên cả hai khoảng này. Do đó, mệnh đề này sai. d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3, 1)$. - Trên khoảng $(-3, -1)$ và $(-1, 1)$, ta thấy $f'(x) > 0$, tức là hàm số đồng biến trên cả hai khoảng này. Do đó, mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 6: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Điểm A trùng với gốc tọa độ O, nên tọa độ của A là (0, 0, 0). - Điểm B nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của B là (2, 0, 0). - Điểm D nằm trên trục Oy, do đó tọa độ của D là (0, 3, 0). - Điểm A' nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của A' là (0, 0, 4). Bây giờ, ta xét từng khẳng định: a) $\overrightarrow{AA'} = -4\overrightarrow{k}$ - Vector $\overrightarrow{AA'}$ có tọa độ là (0, 0, 4) - (0, 0, 0) = (0, 0, 4). - Do đó, $\overrightarrow{AA'} = 4\overrightarrow{k}$, không phải là $-4\overrightarrow{k}$. - Vậy khẳng định này là sai. b) $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{i}$ - Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0). - Do đó, $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{i}$. - Vậy khẳng định này là đúng. c) $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{i}$ - Vector $\overrightarrow{AD}$ có tọa độ là (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0). - Do đó, $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{j}$, không phải là $3\overrightarrow{i}$. - Vậy khẳng định này là sai. d) $C'(2, 3, 4)$ - Điểm C' là đỉnh của hình hộp chữ nhật, nằm ở giao điểm của các cạnh AB, AD và AA'. - Tọa độ của C' sẽ là (2, 3, 4). - Vậy khẳng định này là đúng. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 7: a) Cỡ mẫu $n=100.$ Đúng vì theo bảng thống kê, tổng số lượt đi xe buýt của ông Thắng là 100. b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1=\frac{683}{38}.$ Để tính tứ phân vị thứ nhất, ta cần xác định khoảng chứa $Q_1$. - Tổng số lượt là 100, do đó $\frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25$. - Ta thấy rằng: - Khoảng [15; 18) có 22 lượt. - Khoảng [18; 21) có 38 lượt. Do đó, $Q_1$ nằm trong khoảng [18; 21). Ta áp dụng công thức tính $Q_1$: \[ Q_1 = 18 + \left( \frac{25 - 22}{38} \right) \times 3 = 18 + \frac{3}{38} \times 3 = 18 + \frac{9}{38} = \frac{684}{38} = 18.0263 \] Vậy $Q_1 = \frac{684}{38}$. Mệnh đề này sai vì $Q_1 = \frac{684}{38}$ chứ không phải $\frac{683}{38}$. c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_Q=\frac{515}{114}.$ Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần xác định tứ phân vị thứ ba ($Q_3$). - $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75$. - Ta thấy rằng: - Khoảng [15; 18) có 22 lượt. - Khoảng [18; 21) có 38 lượt. - Khoảng [21; 24) có 27 lượt. - Khoảng [24; 27) có 8 lượt. - Khoảng [27; 30) có 4 lượt. - Khoảng [30; 33) có 1 lượt. Do đó, $Q_3$ nằm trong khoảng [21; 24). Ta áp dụng công thức tính $Q_3$: \[ Q_3 = 21 + \left( \frac{75 - 60}{27} \right) \times 3 = 21 + \frac{15}{27} \times 3 = 21 + \frac{45}{27} = 21 + 1.6667 = 22.6667 \] Khoảng tứ phân vị là: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 22.6667 - 18.0263 = 4.6404 \] Vậy $\Delta_Q = \frac{515}{114}$. Mệnh đề này đúng. d) Biết rằng trong 100 lần đi trên, chỉ có đúng một lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút. Thời gian của lần đi đó là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm. Đúng vì chỉ có một lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút, trong khi phần lớn các lần đi khác đều nằm trong khoảng thời gian từ 15 đến 29 phút. Do đó, lần đi đó có thể coi là giá trị ngoại lệ. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị. 2. Tìm các điều kiện từ các điểm đặc biệt đó. 3. Xác định các hệ số của hàm số. Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, d). Do đó, d = 0. - Đồ thị cắt trục x tại điểm (-1, 0) và (1, 0). Do đó, f(-1) = 0 và f(1) = 0. Bước 2: Tìm các điều kiện từ các điểm đặc biệt đó. - Vì f(-1) = 0, ta có: \[ a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 0 \] \[ -a + b - c + d = 0 \] \[ -a + b - c = 0 \quad \text{(vì } d = 0) \quad \text{(1)} \] - Vì f(1) = 0, ta có: \[ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0 \] \[ a + b + c + d = 0 \] \[ a + b + c = 0 \quad \text{(vì } d = 0) \quad \text{(2)} \] Bước 3: Xác định các hệ số của hàm số. - Ta có hai phương trình: \[ -a + b - c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ a + b + c = 0 \quad \text{(2)} \] - Cộng hai phương trình (1) và (2): \[ (-a + b - c) + (a + b + c) = 0 + 0 \] \[ 2b = 0 \] \[ b = 0 \] - Thay b = 0 vào phương trình (2): \[ a + 0 + c = 0 \] \[ a + c = 0 \] \[ c = -a \] Do đó, hàm số có dạng: \[ y = ax^3 - ax \] Đáp số: Hàm số là \( y = ax^3 - ax \).