Tìm các khoảng tăng ngặt.

Question

Accepted Answer

Để tìm các khoảng tăng ngặt của một hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.
3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng được chia bởi các điểm tới hạn.
4. Xác định các khoảng mà đạo hàm dương (hàm số tăng ngặt).

Giả sử hàm số cần xét là $ f(x) $.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Giả sử $ f(x) $ là một hàm số cụ thể, ví dụ $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $.

Đạo hàm của $ f(x) $ là:
$$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$

Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0
$$ 3x^2 - 3 = 0 $$
$$ 3(x^2 - 1) = 0 $$
$$ x^2 - 1 = 0 $$
$$ x = \pm 1 $$

Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng
Các điểm tới hạn là $ x = -1 $ và $ x = 1 $. Chúng ta sẽ kiểm tra dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, và $ (1, \infty) $.

- Trên khoảng $ (-\infty, -1) $:
  Chọn $ x = -2 $:
  $$ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 $$
  Đạo hàm dương, hàm số tăng ngặt.

- Trên khoảng $ (-1, 1) $:
  Chọn $ x = 0 $:
  $$ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 $$
  Đạo hàm âm, hàm số giảm ngặt.

- Trên khoảng $ (1, \infty) $:
  Chọn $ x = 2 $:
  $$ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 $$
  Đạo hàm dương, hàm số tăng ngặt.

Bước 4: Kết luận các khoảng tăng ngặt
Hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ tăng ngặt trên các khoảng:
$$ (-\infty, -1) \quad \text{và} \quad (1, \infty) $$

Vậy các khoảng tăng ngặt của hàm số là:
$$ \boxed{(-\infty, -1) \quad \text{và} \quad (1, \infty)} $$