Giải chi tiet Câu 4. Số dân số của một thị trấn sau 1 năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$,+ 25 và,$f(t)$ được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số,$f(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị,trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac2{15}$,nghìn người/ năm?,A. 2019. B. 2020.,C. 1995. D. 2024.

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để tìm năm mà tốc độ gia tăng dân số của thị trấn là $\frac{2}{15}$ nghìn người/năm, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(t)$ và giải phương trình đạo hàm bằng $\frac{2}{15}$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(t)$.

Hàm số $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ f'(t) = \frac{(26t + 10)'(t + 5) - (26t + 10)(t + 5)'}{(t + 5)^2} $$

Tính đạo hàm từng phần:
$$ (26t + 10)' = 26 $$
$$ (t + 5)' = 1 $$

Thay vào công thức:
$$ f'(t) = \frac{26(t + 5) - (26t + 10)}{(t + 5)^2} $$
$$ f'(t) = \frac{26t + 130 - 26t - 10}{(t + 5)^2} $$
$$ f'(t) = \frac{120}{(t + 5)^2} $$

Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng $\frac{2}{15}$.

$$ \frac{120}{(t + 5)^2} = \frac{2}{15} $$

Nhân cả hai vế với $(t + 5)^2$:
$$ 120 = \frac{2}{15}(t + 5)^2 $$

Nhân cả hai vế với 15:
$$ 1800 = 2(t + 5)^2 $$

Chia cả hai vế cho 2:
$$ 900 = (t + 5)^2 $$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
$$ t + 5 = 30 \quad \text{hoặc} \quad t + 5 = -30 $$

Giải ra:
$$ t = 25 \quad \text{hoặc} \quad t = -35 $$

Vì thời gian không thể âm nên ta loại $t = -35$. Vậy $t = 25$.

Bước 3: Xác định năm tương ứng.

Năm 1970 là năm ban đầu, vậy sau 25 năm sẽ là:
$$ 1970 + 25 = 1995 $$

Vậy vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/năm.

Đáp án đúng là: C. 1995.