Giải chi tiet

Câu 4. Để tìm năm mà tốc độ gia tăng dân số của thị trấn là $\frac{2}{15}$ nghìn người/năm, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(t)$ và giải phương trình đạo hàm bằng $\frac{2}{15}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(t)$. Hàm số $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(t) = \frac{(26t + 10)'(t + 5) - (26t + 10)(t + 5)'}{(t + 5)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (26t + 10)' = 26 \] \[ (t + 5)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(t) = \frac{26(t + 5) - (26t + 10)}{(t + 5)^2} \] \[ f'(t) = \frac{26t + 130 - 26t - 10}{(t + 5)^2} \] \[ f'(t) = \frac{120}{(t + 5)^2} \] Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng $\frac{2}{15}$. \[ \frac{120}{(t + 5)^2} = \frac{2}{15} \] Nhân cả hai vế với $(t + 5)^2$: \[ 120 = \frac{2}{15}(t + 5)^2 \] Nhân cả hai vế với 15: \[ 1800 = 2(t + 5)^2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 900 = (t + 5)^2 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ t + 5 = 30 \quad \text{hoặc} \quad t + 5 = -30 \] Giải ra: \[ t = 25 \quad \text{hoặc} \quad t = -35 \] Vì thời gian không thể âm nên ta loại $t = -35$. Vậy $t = 25$. Bước 3: Xác định năm tương ứng. Năm 1970 là năm ban đầu, vậy sau 25 năm sẽ là: \[ 1970 + 25 = 1995 \] Vậy vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/năm. Đáp án đúng là: C. 1995.