giải giúp mình với ạ

Câu 215: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tính chu vi tam giác ABC Chu vi của tam giác ABC là tổng độ dài ba cạnh của nó. Ta sẽ tính độ dài các cạnh bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] Độ dài cạnh CA: \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] Chu vi tam giác ABC: \[ P_{ABC} = AB + BC + CA = 3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37} \] b) Tính góc B và diện tích tam giác ABC Tính góc B: Ta sử dụng công thức cosin để tính góc B: \[ \cos(B) = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] \[ \cos(B) = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{37})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{18 + 13 - 37}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-6}{6\sqrt{26}} = \frac{-1}{\sqrt{26}} \] \[ \cos(B) = -\frac{1}{\sqrt{26}} \] Diện tích tam giác ABC: Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC. Trước tiên, tính bán kính nửa chu vi: \[ s = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}}{2} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)} \] Thay các giá trị vào: \[ S_{ABC} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}}{2} - 3\sqrt{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}}{2} - \sqrt{13}\right)\left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}}{2} - \sqrt{37}\right)} \] Để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác thông qua hai cạnh và sin của góc giữa chúng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(B) \] Tính $\sin(B)$ từ $\cos(B)$: \[ \sin^2(B) = 1 - \cos^2(B) = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{26} = \frac{25}{26} \] \[ \sin(B) = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = \frac{15}{2} = 7.5 \] Đáp số: a) Chu vi tam giác ABC: \(3\sqrt{2} + \sqrt{13} + \sqrt{37}\) b) Góc B: \(\cos(B) = -\frac{1}{\sqrt{26}}\) Diện tích tam giác ABC: \(7.5\) Câu 216: Để giải quyết bài toán về tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, chúng ta cần biết thêm thông tin về tọa độ của các đỉnh A, B, C hoặc các thông tin khác liên quan đến tam giác này. Dưới đây là một ví dụ về cách giải quyết bài toán khi biết tọa độ của các đỉnh tam giác. Giả sử tọa độ của các đỉnh tam giác ABC là: - A(1, 2) - B(4, 6) - C(7, 2) Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. - Độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(7 - 4)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Độ dài cạnh CA: \[ CA = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \] Bước 2: Xác định loại tam giác (cân, đều, vuông, ...) - Vì AB = BC = 5, nên tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh B. Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron. - Bán kính đường tròn ngoại tiếp (p): \[ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8 \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} = \sqrt{8(8 - 5)(8 - 5)(8 - 6)} = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} = 12 \] Vậy diện tích tam giác ABC là 12. Bước 4: Kết luận - Tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh B. - Diện tích tam giác ABC là 12. Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 12.