làm hộ mik với

Câu 3. Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho và vẽ sơ đồ tam giác ABC. - Tam giác ABC vuông tại A. - Góc B = 30°. - AC = 2. - M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và góc B = 30°, nên góc C = 60° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°). Ta biết rằng trong tam giác vuông có một góc 30°, cạnh đối diện với góc 30° sẽ bằng một nửa cạnh huyền. Do đó, ta có: \[ AB = \frac{BC}{2} \] Gọi BC = 2x, thì AB = x. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ (2x)^2 = x^2 + 2^2 \] \[ 4x^2 = x^2 + 4 \] \[ 3x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{4}{3} \] \[ x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Do đó: \[ AB = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] \[ BC = 2 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] M là trung điểm của BC, nên BM = MC = $\frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( P = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} \). Trong tam giác ABC, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} - \frac{\overrightarrow{BC}}{2} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = \left( \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\overrightarrow{BC}}{2} \right) \] \[ = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} \] Vì \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) \] \[ = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}) \] Vì \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} = -|\overrightarrow{AB}|^2\) và \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\) (do tam giác vuông tại A), ta có: \[ = \frac{1}{4} (-|\overrightarrow{AB}|^2 + 0 + 0 + |\overrightarrow{AC}|^2) \] \[ = \frac{1}{4} (-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 2^2) \] \[ = \frac{1}{4} \left(-\frac{4 \times 3}{9} + 4\right) \] \[ = \frac{1}{4} \left(-\frac{4}{3} + 4\right) \] \[ = \frac{1}{4} \left(\frac{-4 + 12}{3}\right) \] \[ = \frac{1}{4} \left(\frac{8}{3}\right) \] \[ = \frac{8}{12} \] \[ = \frac{2}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} \) là: \[ \boxed{\frac{2}{3}} \]