trong mặt phẳng tọa độ xOy cho 3 điểm A(4;-1) B(3;1) C(0;3) tìm tọa độ các điểm E (a;0) F(0;b) sao cho tam giác AEF vuông tại A và có diễn tích nhỏ nhất Giúp mình với!Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để tam giác AEF vuông tại A: - Ta cần tìm tọa độ của điểm E(a, 0) và F(0, b) sao cho tam giác AEF vuông tại A. - Điều kiện để tam giác AEF vuông tại A là: \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 0 \). 2. Tính các vectơ \(\overrightarrow{AE}\) và \(\overrightarrow{AF}\): - \(\overrightarrow{AE} = (a - 4, 0 + 1) = (a - 4, 1)\) - \(\overrightarrow{AF} = (0 - 4, b + 1) = (-4, b + 1)\) 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: - \(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = (a - 4)(-4) + 1(b + 1) = 0\) - \((a - 4)(-4) + (b + 1) = 0\) - \(-4a + 16 + b + 1 = 0\) - \(-4a + b + 17 = 0\) - \(b = 4a - 17\) 4. Tính diện tích tam giác AEF: - Diện tích tam giác AEF là: \[ S_{AEF} = \frac{1}{2} \times AE \times AF \] - \(AE = \sqrt{(a - 4)^2 + 1^2} = \sqrt{(a - 4)^2 + 1}\) - \(AF = \sqrt{(-4)^2 + (b + 1)^2} = \sqrt{16 + (b + 1)^2}\) - Thay \(b = 4a - 17\) vào: \[ AF = \sqrt{16 + (4a - 17 + 1)^2} = \sqrt{16 + (4a - 16)^2} \] 5. Diện tích tam giác AEF: - \(S_{AEF} = \frac{1}{2} \times \sqrt{(a - 4)^2 + 1} \times \sqrt{16 + (4a - 16)^2}\) 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích: - Để diện tích nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức trên. Ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc tính toán trực tiếp để tìm giá trị nhỏ nhất của \(S_{AEF}\). 7. Kiểm tra các giá trị \(a\) và \(b\): - Thử nghiệm các giá trị \(a\) và \(b\) để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích. Kết luận: - Sau khi kiểm tra các giá trị, ta thấy rằng diện tích nhỏ nhất của tam giác AEF là khi \(a = 4\) và \(b = -1\). Do đó, tọa độ của các điểm E và F là: - \(E(4, 0)\) - \(F(0, -1)\) Đáp số: \(E(4, 0)\) và \(F(0, -1)\).