Giúp mình với!

Câu 9 a) Thực hiện phép nhân và trừ đại lượng: \[ 3x^2y \cdot (2x^2 - y) - 4x^2 \cdot (x^2y - y^2) \] - Nhân \(3x^2y\) với \(2x^2 - y\): \[ 3x^2y \cdot 2x^2 = 6x^4y \] \[ 3x^2y \cdot (-y) = -3x^2y^2 \] Vậy: \[ 3x^2y \cdot (2x^2 - y) = 6x^4y - 3x^2y^2 \] - Nhân \(4x^2\) với \(x^2y - y^2\): \[ 4x^2 \cdot x^2y = 4x^4y \] \[ 4x^2 \cdot (-y^2) = -4x^2y^2 \] Vậy: \[ 4x^2 \cdot (x^2y - y^2) = 4x^4y - 4x^2y^2 \] - Kết hợp các kết quả trên: \[ 6x^4y - 3x^2y^2 - (4x^4y - 4x^2y^2) = 6x^4y - 3x^2y^2 - 4x^4y + 4x^2y^2 \] \[ = 2x^4y + x^2y^2 \] b) Thực hiện phép chia đa thức: \[ (x^3 + 1) : (x + 1) \] - Ta thực hiện phép chia như sau: \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \] Vậy: \[ (x^3 + 1) : (x + 1) = x^2 - x + 1 \] Đáp số: a) \(2x^4y + x^2y^2\) b) \(x^2 - x + 1\) Câu 10 a) Ta có: \[ 16x^2 - (3x - 4)^2 = 0 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ (4x)^2 - (3x - 4)^2 = 0 \] \[ (4x - (3x - 4))(4x + (3x - 4)) = 0 \] \[ (4x - 3x + 4)(4x + 3x - 4) = 0 \] \[ (x + 4)(7x - 4) = 0 \] Từ đây ta có hai trường hợp: 1. \(x + 4 = 0\) \[ x = -4 \] 2. \(7x - 4 = 0\) \[ 7x = 4 \] \[ x = \frac{4}{7} \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -4\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\). c) Ta có: \[ x^3 - x^2 - 3 + 3x = 0 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ x^2(x - 1) + 3(x - 1) = 0 \] Nhân chung \(x - 1\): \[ (x^2 + 3)(x - 1) = 0 \] Từ đây ta có hai trường hợp: 1. \(x - 1 = 0\) \[ x = 1 \] 2. \(x^2 + 3 = 0\) \[ x^2 = -3 \] Phương trình \(x^2 = -3\) không có nghiệm thực vì \(x^2\) luôn dương hoặc bằng 0. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\). Đáp số: a) \(x = -4\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\) c) \(x = 1\) Câu 11 a) Rút gọn biểu thức \( A \): Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{4-x^2} + \frac{1}{x-2} \right) \cdot \frac{x^2-4x+4}{4x} \] Chú ý rằng \( 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \) và \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \). Do đó, ta có: \[ A = \left( \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{(2-x)(2+x)} + \frac{1}{x-2} \right) \cdot \frac{(x-2)^2}{4x} \] Ta quy đồng các phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{x+2} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} \] \[ \frac{2x}{(2-x)(2+x)} = \frac{-2x}{(x+2)(x-2)} \] \[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} \] Do đó: \[ \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{(2-x)(2+x)} + \frac{1}{x-2} = \frac{x-2 - (-2x) + x+2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2 + 2x + x+2}{(x+2)(x-2)} = \frac{4x}{(x+2)(x-2)} \] Vậy: \[ A = \frac{4x}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{(x-2)^2}{4x} = \frac{4x \cdot (x-2)^2}{(x+2)(x-2) \cdot 4x} = \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{x+2} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = -3 \): Thay \( x = -3 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{-3-2}{-3+2} = \frac{-5}{-1} = 5 \] c) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên: Biểu thức \( A = \frac{x-2}{x+2} \) sẽ có giá trị nguyên nếu \( x-2 \) chia hết cho \( x+2 \). Ta xét các trường hợp: - \( x-2 = k(x+2) \) với \( k \) là số nguyên. - \( x-2 = kx + 2k \) - \( x - kx = 2k + 2 \) - \( x(1-k) = 2(k+1) \) Để \( x \) là số nguyên, \( 1-k \) phải là ước của \( 2(k+1) \). Ta xét các trường hợp \( k = 0, 1, -1, -2 \): - \( k = 0 \): \( x = 2 \) (loại vì \( x \neq 2 \)) - \( k = 1 \): \( x = -2 \) (loại vì \( x \neq -2 \)) - \( k = -1 \): \( x = 0 \) (loại vì \( x \neq 0 \)) - \( k = -2 \): \( x = -6 \) Vậy giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên là \( x = -6 \). Đáp số: a) \( A = \frac{x-2}{x+2} \) b) \( A = 5 \) khi \( x = -3 \) c) \( x = -6 \) Câu 12 a) Ta có công thức biểu thị số tiền y (đồng) thu được khi bán x kg cam Canh loại I là: \[ y = 50000 \times x \] Vì y = 50000 × x có dạng y = ax + b (với a = 50000 và b = 0), nên y là hàm số bậc nhất của x. b) Số tiền thu được khi bán 12 kg cam Canh loại I là: \[ y = 50000 \times 12 = 600000 \text{ (đồng)} \] c) Để thu được số tiền 1 500 000 đồng, cần bán số kg cam Canh loại I là: \[ 1500000 = 50000 \times x \] \[ x = \frac{1500000}{50000} = 30 \text{ (kg)} \] Đáp số: a) y = 50000 × x b) 600 000 đồng c) 30 kg Câu 13 a) Ta có $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$. Do đó, $AM$ là đường trung tuyến của $\triangle ABC$ và $AM = \frac{1}{2}BC$ (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông). Ta cũng có $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $D$ và $E$ là các điểm trên $AB$ và $AC$ sao cho $MD$ và $ME$ là các đường cao hạ từ $M$ xuống $AB$ và $AC$. Do đó, $DE$ là đoạn thẳng nối hai chân đường cao hạ từ $M$ xuống $AB$ và $AC$. Ta cần chứng minh rằng $AM = DE$. Xét $\triangle ADM$ và $\triangle AEM$: - $AD = AE$ (vì $D$ và $E$ là các điểm trên $AB$ và $AC$ sao cho $MD$ và $ME$ là các đường cao hạ từ $M$ xuống $AB$ và $AC$). - $\angle ADM = \angle AEM = 90^\circ$ (vì $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$). - $AM$ chung. Vậy $\triangle ADM = \triangle AEM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Do đó, $DM = EM$ và $DE = AM$. b) Ta đã chứng minh được $AM = DE$. Xét tứ giác $DMCE$: - $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, do đó $MD \parallel AC$ và $ME \parallel AB$. - $DM = EM$ (chứng minh ở phần a). Vậy tứ giác $DMCE$ là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành). c) Để tứ giác $ADME$ là hình vuông, ta cần thêm điều kiện gì? Để tứ giác $ADME$ là hình vuông, ta cần: - $AD = DM$ (cạnh của hình vuông). - $\angle ADM = 90^\circ$ (góc vuông của hình vuông). Vì $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, nên $\angle ADM = 90^\circ$. Do đó, ta chỉ cần thêm điều kiện $AD = DM$. Để $AD = DM$, ta cần $AB = AC$ (do $D$ là chân đường cao hạ từ $M$ xuống $AB$ và $E$ là chân đường cao hạ từ $M$ xuống $AC$). Vậy điều kiện cần thêm là $AB = AC$. Đáp số: a) $AM = DE$ b) Tứ giác $DMCE$ là hình bình hành. c) Điều kiện cần thêm là $AB = AC$. Câu 14 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích và biến đổi đẳng thức đã cho: Ta có: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 \] 2. Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: Ta nhận thấy rằng: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = (x + 2y)^2 + (2x + y - 1)^2 \] Để chứng minh điều này, ta thực hiện phép biến đổi: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = (x + 2y)^2 + (2x + y - 1)^2 \] Ta kiểm tra lại: \[ (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 \] \[ (2x + y - 1)^2 = 4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y \] Cộng lại: \[ x^2 + 4xy + 4y^2 + 4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y = 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 1 \] Do đó: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = (x + 2y)^2 + (2x + y - 1)^2 \] 3. Áp dụng tính chất của tổng các bình phương: Vì tổng của hai bình phương bằng 0, nên mỗi bình phương phải bằng 0: \[ (x + 2y)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (2x + y - 1)^2 = 0 \] Từ đây ta có: \[ x + 2y = 0 \quad \text{và} \quad 2x + y - 1 = 0 \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 2x + y - 1 = 0 \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ x = -2y \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2(-2y) + y - 1 = 0 \implies -4y + y - 1 = 0 \implies -3y - 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{3} \] Thay \( y = -\frac{1}{3} \) vào \( x = -2y \): \[ x = -2 \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( M \): Ta có: \[ M = (x + y)^{2021} + (x - 2)^{2022} + (y + 1)^{2023} \] Thay \( x = \frac{2}{3} \) và \( y = -\frac{1}{3} \): \[ x + y = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ x - 2 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3} \] \[ y + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \] Vậy: \[ M = \left( \frac{1}{3} \right)^{2021} + \left( -\frac{4}{3} \right)^{2022} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2023} \] 6. Kết luận: \[ M = \left( \frac{1}{3} \right)^{2021} + \left( \frac{4}{3} \right)^{2022} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2023} \] Đáp số: \( M = \left( \frac{1}{3} \right)^{2021} + \left( \frac{4}{3} \right)^{2022} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2023} \)