<p>Gvhdvjgcbhg</p>

Câu 1. a) Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} \] Khi \(x \to +\infty\), các phân số \(\frac{1}{x}\), \(\frac{2}{x^2}\), và \(\frac{1}{x^2}\) đều tiến đến 0: \[ = \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = 1 \] Vậy \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\). b) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \] Thay \(x = 1\) vào biểu thức: \[ = \frac{1^2 - 1 + 2}{1^2 - 1} = \frac{2}{0} \] Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, ta cần xét giới hạn từ hai phía: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to 1^-\), \(x - 1 < 0\) và \(x + 1 > 0\), nên: \[ = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to 1^+\), \(x - 1 > 0\) và \(x + 1 > 0\), nên: \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = +\infty \] Vậy \(\lim_{x \to 1} f(x)\) không tồn tại. c) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \] Thay \(x = 1\) vào biểu thức: \[ = \frac{1^2 - 1 + 2}{1^2 - 1} = \frac{2}{0} \] Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, ta cần xét giới hạn từ hai phía: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to 1^-\), \(x - 1 < 0\) và \(x + 1 > 0\), nên: \[ = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to 1^+\), \(x - 1 > 0\) và \(x + 1 > 0\), nên: \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = +\infty \] Vậy \(\lim_{x \to 1} f(x)\) không tồn tại. d) Ta có: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - 1} \] Thay \(x = -1\) vào biểu thức: \[ = \frac{(-1)^2 - (-1) + 2}{(-1)^2 - 1} = \frac{1 + 1 + 2}{1 - 1} = \frac{4}{0} \] Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, ta cần xét giới hạn từ hai phía: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to -1^-\), \(x - 1 < 0\) và \(x + 1 < 0\), nên: \[ = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} \] Khi \(x \to -1^+\), \(x - 1 < 0\) và \(x + 1 > 0\), nên: \[ = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - x + 2}{(x-1)(x+1)} = -\infty \] Vậy \(\lim_{x \to -1} f(x)\) không tồn tại. Do đó, hàm số không liên tục tại \(x = -1\). Câu 2. a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm II và III. - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Nhóm II có tần số là 8, nhóm III cũng có tần số là 8, và đây là hai nhóm có tần số lớn nhất. - Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm II và III. b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu bằng 5. - Để tính trung bình cộng, ta cần biết tổng của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. - Ta sẽ tính trung bình cộng của mỗi nhóm: - Nhóm I: [0, 2) có giá trị trung tâm là $\frac{0 + 2}{2} = 1$. - Nhóm II: (2, 5) có giá trị trung tâm là $\frac{2 + 5}{2} = 3.5$. - Nhóm III: [5, 8) có giá trị trung tâm là $\frac{5 + 8}{2} = 6.5$. - Nhóm IV: [8, 10] có giá trị trung tâm là $\frac{8 + 10}{2} = 9$. - Tổng các giá trị trung tâm nhân với tần số tương ứng: - Nhóm I: $1 \times 2 = 2$ - Nhóm II: $3.5 \times 8 = 28$ - Nhóm III: $6.5 \times 8 = 52$ - Nhóm IV: $9 \times 2 = 18$ - Tổng các giá trị này là: $2 + 28 + 52 + 18 = 100$. - Số lượng mẫu số liệu là 20. - Trung bình cộng là: $\frac{100}{20} = 5$. c) Trung vị của mẫu ghép nhóm thuộc khoảng $(2, 5)$. - Trung vị là giá trị ở giữa của mẫu số liệu khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần. - Với 20 giá trị, trung vị nằm giữa giá trị thứ 10 và 11. - Nhóm I có 2 giá trị, nhóm II có 8 giá trị, nhóm III có 8 giá trị, nhóm IV có 2 giá trị. - Giá trị thứ 10 và 11 nằm trong nhóm II, do đó trung vị thuộc khoảng $(2, 5)$. d) Tứ phân vị thứ ba bằng 8. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị chia mẫu số liệu thành phần trên 75% và phần dưới 25%. - Với 20 giá trị, Q3 nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 20 = 15$. - Nhóm I có 2 giá trị, nhóm II có 8 giá trị, nhóm III có 8 giá trị, nhóm IV có 2 giá trị. - Giá trị thứ 15 nằm trong nhóm III, do đó Q3 thuộc khoảng [5, 8). Đáp án: a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm II và III. b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu bằng 5. c) Trung vị của mẫu ghép nhóm thuộc khoảng $(2, 5)$. d) Tứ phân vị thứ ba bằng 8. Câu 3. a) Ta có M là trung điểm của SA và N là trung điểm của AB nên MN // SB. Vì SB nằm trong mặt phẳng (SBD) và MN không nằm trong mặt phẳng (SBD) nên MN và SA chéo nhau. b) Ta có P là trung điểm của AD và N là trung điểm của AB nên NP // BD. Vì BD nằm trong mặt phẳng (SBD) và NP không nằm trong mặt phẳng (SBD) nên (MNP) và (SBD) song song. c) Ta có NP // BD và BD nằm trong mặt phẳng (SBD) nên NP // (SBD). d) Phép chiếu song song theo đường thẳng SA lên mặt phẳng (ACBD) biến đường thẳng MN thành đường thẳng AB vì MN // AB và MN không nằm trong mặt phẳng (ACBD). Đáp án đúng là: a) Hai đường thẳng MN và SA chéo nhau. Câu 1. Cấp số nhân có số hạng tổng quát \( u_n = -2^n \). Ta cần tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này. Các số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ u_1 = -2^1 = -2 \] \[ u_2 = -2^2 = -4 \] \[ u_3 = -2^3 = -8 \] \[ u_4 = -2^4 = -16 \] \[ u_5 = -2^5 = -32 \] \[ u_6 = -2^6 = -64 \] \[ u_7 = -2^7 = -128 \] \[ u_8 = -2^8 = -256 \] Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_8 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 + u_7 + u_8 \] \[ S_8 = (-2) + (-4) + (-8) + (-16) + (-32) + (-64) + (-128) + (-256) \] Tính tổng các số hạng này: \[ S_8 = -2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 \] \[ S_8 = -(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256) \] \[ S_8 = -(510) \] \[ S_8 = -510 \] Vậy tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(-510\). Câu 2. Để tìm số hạng thứ 1000 của dãy số cấp cộng, ta cần biết công thức tổng quát của số hạng thứ n trong dãy số cấp cộng. Công thức này là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_n \) là số hạng thứ n. - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( d \) là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp (công sai). Ta đã biết: - \( u_2 = 9 \) - \( u_n = 3 \) Từ đây, ta có thể suy ra công sai \( d \): \[ u_2 = u_1 + d \] \[ 9 = u_1 + d \] Ta cũng biết rằng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng cho \( u_{1000} \): \[ u_{1000} = u_1 + 999d \] Bây giờ, ta cần tìm \( u_1 \) và \( d \). Ta có hai phương trình: 1. \( 9 = u_1 + d \) 2. \( 3 = u_1 + 999d \) Ta sẽ trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất để tìm \( d \): \[ 9 - 3 = (u_1 + d) - (u_1 + 999d) \] \[ 6 = d - 999d \] \[ 6 = -998d \] \[ d = -\frac{6}{998} = -\frac{3}{499} \] Bây giờ, ta thay \( d \) vào phương trình \( 9 = u_1 + d \) để tìm \( u_1 \): \[ 9 = u_1 - \frac{3}{499} \] \[ u_1 = 9 + \frac{3}{499} \] \[ u_1 = \frac{4491}{499} \] Cuối cùng, ta tính \( u_{1000} \): \[ u_{1000} = u_1 + 999d \] \[ u_{1000} = \frac{4491}{499} + 999 \left( -\frac{3}{499} \right) \] \[ u_{1000} = \frac{4491}{499} - \frac{2997}{499} \] \[ u_{1000} = \frac{4491 - 2997}{499} \] \[ u_{1000} = \frac{1494}{499} \] \[ u_{1000} = 3 \] Vậy số hạng thứ 1000 của dãy số cấp cộng là 3. Câu 3. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Ta thấy rằng mẫu số $x^2 - 4$ không được phép bằng 0, tức là $x \neq \pm 2$. Vì vậy, ĐKXĐ là $x \neq \pm 2$. Bước 2: Rút gọn phân thức - Ta phân tích nhân tử ở tử số và mẫu số: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] - Thay vào phân thức ban đầu: \[ \frac{x^2-3x+2}{x^2-4} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \] - Rút gọn phân thức (với điều kiện $x \neq 2$): \[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2} \] Bước 3: Tính giới hạn - Bây giờ, ta tính giới hạn của phân thức đã rút gọn khi $x \rightarrow 1$: \[ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x+2} \] - Thay $x = 1$ vào phân thức: \[ \frac{1-1}{1+2} = \frac{0}{3} = 0 \] Vậy, giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}$ bằng 0. Đáp số: 0 Câu 4. Để tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số quan sát: Tổng số quan sát là tổng của tất cả các tần số: \[ 2 + 8 + 10 + 8 + 2 = 30 \] 2. Xác định vị trí của số trung vị: Số trung vị nằm ở vị trí thứ $\frac{30 + 1}{2} = 15,5$. Do đó, số trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 15 và 16. 3. Xác định nhóm chứa số trung vị: - Nhóm [0;2) có 2 giá trị. - Nhóm (2;4) có 8 giá trị, tổng là 2 + 8 = 10 giá trị. - Nhóm [4;6) có 10 giá trị, tổng là 10 + 10 = 20 giá trị. Như vậy, số trung vị nằm trong nhóm [4;6). 4. Tìm giá trị trung vị cụ thể trong nhóm [4;6): - Giới hạn dưới của nhóm [4;6) là 4. - Độ rộng của nhóm là 6 - 4 = 2. - Tần số lũy kế trước nhóm [4;6) là 10. - Tần số của nhóm [4;6) là 10. Áp dụng công thức tính trung vị trong nhóm: \[ M = 4 + \left( \frac{15,5 - 10}{10} \right) \times 2 = 4 + \left( \frac{5,5}{10} \right) \times 2 = 4 + 1,1 = 5,1 \] Vậy số trung vị của mẫu số liệu này là 5,1. Câu 1. Để tìm tổng 11 số hạng đầu của một cấp số cộng, ta cần biết số hạng đầu tiên ($a_1$) và công sai ($d$). Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên ($a_1$) và công sai ($d$). Ta biết rằng: - Số hạng thứ hai ($a_2$) là 13. - Số hạng thứ mười ba ($a_{13}$) là 3. Công thức của số hạng thứ n trong một cấp số cộng là: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào số hạng thứ hai: \[ a_2 = a_1 + d = 13 \] \[ a_1 + d = 13 \quad \text{(1)} \] Áp dụng vào số hạng thứ mười ba: \[ a_{13} = a_1 + 12d = 3 \] \[ a_1 + 12d = 3 \quad \text{(2)} \] Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm $a_1$ và $d$. Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1): \[ (a_1 + 12d) - (a_1 + d) = 3 - 13 \] \[ 11d = -10 \] \[ d = -\frac{10}{11} \] Thay $d = -\frac{10}{11}$ vào phương trình (1): \[ a_1 + \left(-\frac{10}{11}\right) = 13 \] \[ a_1 - \frac{10}{11} = 13 \] \[ a_1 = 13 + \frac{10}{11} \] \[ a_1 = \frac{143}{11} + \frac{10}{11} \] \[ a_1 = \frac{153}{11} \] Bước 3: Tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Áp dụng vào trường hợp này với $n = 11$, $a_1 = \frac{153}{11}$ và $d = -\frac{10}{11}$: \[ S_{11} = \frac{11}{2} \left(2 \cdot \frac{153}{11} + (11-1) \cdot \left(-\frac{10}{11}\right)\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2} \left(\frac{306}{11} + 10 \cdot \left(-\frac{10}{11}\right)\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2} \left(\frac{306}{11} - \frac{100}{11}\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2} \left(\frac{206}{11}\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot \frac{206}{11} \] \[ S_{11} = \frac{206}{2} \] \[ S_{11} = 103 \] Vậy tổng 11 số hạng đầu của cấp số cộng là 103. Câu 2. Để chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (SAB), ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các trung điểm. 1. Xác định các đường thẳng song song: - Vì ABCD là hình bình hành, nên AB song song với CD và AD song song với BC. - M là trung điểm của SC, N là trung điểm của SD, và P là trung điểm của BC. 2. Tìm các đường thẳng song song trong mặt phẳng (MNP): - Xét tam giác SCD, M và N là trung điểm của SC và SD соответ. Do đó, MN song song với CD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). - Xét tam giác BCD, P là trung điểm của BC và N là trung điểm của SD. Do đó, NP song song với BD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). 3. Tìm các đường thẳng song song trong mặt phẳng (SAB): - Xét tam giác SAD, M là trung điểm của SC và N là trung điểm của SD. Do đó, MN song song với AD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). - Xét tam giác SAB, A và B là đỉnh của hình bình hành ABCD, do đó AB song song với CD. 4. Chứng minh (MNP) song song với (SAB): - Ta đã chứng minh MN song song với CD và NP song song với BD. - Mặt khác, CD song song với AB (vì ABCD là hình bình hành). - Do đó, MN song song với AB. - Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng MN và NP, trong đó MN song song với AB và NP song song với BD. - Mặt phẳng (SAB) chứa hai đường thẳng SA và AB, trong đó AB song song với CD và SA cắt qua S. 5. Kết luận: - Vì MN song song với AB và NP song song với BD, nên mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (SAB). Vậy, ta đã chứng minh được rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (SAB).