Giải giúp tôi

Bài 1: a) Tìm tọa độ của các vectơ: - Tọa độ của $\overrightarrow{OA}$ là $(1, 3)$. - Tọa độ của $\overrightarrow{OB}$ là $(7, 1)$. - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(7 - 1, 1 - 3) = (6, -2)$. b) Tính độ dài các đoạn thẳng: - Độ dài $OA$ là $\sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$. - Độ dài $OB$ là $\sqrt{(7 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. - Độ dài $AB$ là $\sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. c) Chứng minh rằng $OA \perp AB$: - Tích vô hướng của $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 3) \cdot (6, -2) = 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$. - Vì tích vô hướng bằng 0 nên $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $OA \perp AB$. d) Tính chu vi tam giác $OAB$: - Chu vi của tam giác $OAB$ là $OA + OB + AB = \sqrt{10} + 5\sqrt{2} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$. e) Tính diện tích tam giác $OAB$: - Diện tích của tam giác $OAB$ là $\frac{1}{2} \times OA \times AB = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 2\sqrt{10} = \frac{1}{2} \times 20 = 10$. g) Tính tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$: - Trọng tâm $G$ có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ G = \left( \frac{0 + 1 + 7}{3}, \frac{0 + 3 + 1}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{4}{3} \right). \] h) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $OAB$: - Vì $OA \perp AB$, trực tâm $H$ trùng với đỉnh $A$. Do đó, tọa độ của $H$ là $(1, 3)$. i) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$: - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm $H$ và đỉnh đối diện $O$. - Trung điểm của $OH$ là: \[ \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right). \] Đáp số: a) $\overrightarrow{OA} = (1, 3)$, $\overrightarrow{OB} = (7, 1)$, $\overrightarrow{AB} = (6, -2)$. b) $OA = \sqrt{10}$, $OB = 5\sqrt{2}$, $AB = 2\sqrt{10}$. c) $OA \perp AB$. d) Chu vi tam giác $OAB$ là $3\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$. e) Diện tích tam giác $OAB$ là 10. g) Tọa độ trọng tâm $G$ là $\left( \frac{8}{3}, \frac{4}{3} \right)$. h) Tọa độ trực tâm $H$ là $(1, 3)$. i) Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là $\left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$.