Cho tôi đáp án câu 7

Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P): - Phương trình (P) là: \( y = ax^2 + bx + 2 \) - Điểm M có tọa độ (-1, 6). Thay vào phương trình: \[ 6 = a(-1)^2 + b(-1) + 2 \] \[ 6 = a - b + 2 \] \[ a - b = 4 \quad \text{(1)} \] 2. Tìm tung độ đỉnh của parabol: - Công thức tính tung độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ y_{\text{đỉnh}} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} \] - Trong bài toán này, \( c = 2 \) và \( y_{\text{đỉnh}} = -\frac{1}{4} \): \[ -\frac{1}{4} = \frac{-b^2 + 4a \cdot 2}{4a} \] \[ -\frac{1}{4} = \frac{-b^2 + 8a}{4a} \] Nhân cả hai vế với \( 4a \): \[ -a = -b^2 + 8a \] \[ b^2 = 9a \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình (1) và (2), ta có: \[ a - b = 4 \quad \text{(1)} \] \[ b^2 = 9a \quad \text{(2)} \] - Ta thay \( a = b + 4 \) vào phương trình (2): \[ b^2 = 9(b + 4) \] \[ b^2 = 9b + 36 \] \[ b^2 - 9b - 36 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai này: \[ b = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2} \] \[ b = \frac{9 \pm 15}{2} \] \[ b = 12 \quad \text{hoặc} \quad b = -3 \] - Thay lại để tìm \( a \): - Nếu \( b = 12 \): \[ a = 12 + 4 = 16 \] - Nếu \( b = -3 \): \[ a = -3 + 4 = 1 \] Nhưng theo đề bài, \( a > 1 \), nên ta loại trường hợp \( a = 1 \). 4. Tính tích \( P = ab \): - Với \( a = 16 \) và \( b = 12 \): \[ P = ab = 16 \times 12 = 192 \] Vậy, tích \( P = ab \) là \( 192 \). Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số $y = ax^2 + bx + c$ là một hàm bậc hai, do đó không cần tìm ĐKXĐ. 2. Xác định các thông tin đã biết: - Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) bằng -1 khi $x = 2$. Điều này có nghĩa là đỉnh của parabol nằm tại điểm $(2, -1)$. - Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $y = 0$ là 10. 3. Áp dụng công thức đỉnh của parabol: - Công thức đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ là $\left(-\frac{b}{2a}, y_{\text{đỉnh}}\right)$. - Vì đỉnh nằm tại $(2, -1)$, ta có: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -4a \] \[ y_{\text{đỉnh}} = -1 \quad \Rightarrow \quad a(2)^2 + b(2) + c = -1 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = -1 \] 4. Thay $b = -4a$ vào phương trình: \[ 4a + 2(-4a) + c = -1 \quad \Rightarrow \quad 4a - 8a + c = -1 \quad \Rightarrow \quad -4a + c = -1 \quad \Rightarrow \quad c = 4a - 1 \] 5. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $y = 0$: - Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có các nghiệm $x_1$ và $x_2$. - Theo định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] - Tổng bình phương các nghiệm: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] - Thay vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2 \cdot \frac{c}{a} = \left(\frac{4a}{a}\right)^2 - 2 \cdot \frac{4a - 1}{a} = 16 - 2 \cdot \frac{4a - 1}{a} \] \[ 16 - 2 \cdot \frac{4a - 1}{a} = 10 \quad \Rightarrow \quad 16 - 2 \cdot \left(4 - \frac{1}{a}\right) = 10 \quad \Rightarrow \quad 16 - 8 + \frac{2}{a} = 10 \quad \Rightarrow \quad 8 + \frac{2}{a} = 10 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{a} = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] 6. Tìm $b$ và $c$: - Với $a = 1$, ta có: \[ b = -4a = -4 \quad \text{và} \quad c = 4a - 1 = 4 - 1 = 3 \] 7. Tích $a \cdot b \cdot c$: \[ a \cdot b \cdot c = 1 \cdot (-4) \cdot 3 = -12 \] Đáp số: $-12$ Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biến phụ Gọi \( t = x^2 + 2x - 3 \). Ta có: \[ y = t^2 + 2t - 4 \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Hàm số \( y = t^2 + 2t - 4 \) là một hàm bậc hai theo \( t \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta sử dụng công thức tính giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( y = at^2 + bt + c \): \[ y_{\text{min}} = \frac{-\Delta}{4a} \] Trong đó, \( \Delta = b^2 - 4ac \). Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -4 \): \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \] \[ y_{\text{min}} = \frac{-20}{4 \cdot 1} = -5 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = t^2 + 2t - 4 \) là \(-5\), đạt được khi \( t = -1 \). Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) khi \( t = -1 \) \[ x^2 + 2x - 3 = -1 \] \[ x^2 + 2x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y \) là \(-5\) và đạt được khi \( x = -1 + \sqrt{3} \) hoặc \( x = -1 - \sqrt{3} \). Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-3; 3]\) a. Tìm giá trị của \( t \) khi \( x \) thuộc đoạn \([-3; 3]\) \[ t = x^2 + 2x - 3 \] Tính giá trị của \( t \) tại các điểm đầu mút của đoạn: - Khi \( x = -3 \): \[ t = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \] - Khi \( x = 3 \): \[ t = 3^2 + 2(3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12 \] Do đó, \( t \) nằm trong khoảng từ 0 đến 12. b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = t^2 + 2t - 4 \) trên đoạn \([0; 12]\) - Giá trị nhỏ nhất của \( y \) đã tìm được ở trên là \(-5\) khi \( t = -1 \), nhưng \( t \) không thể bằng \(-1\) vì \( t \) nằm trong khoảng từ 0 đến 12. Do đó, ta cần kiểm tra giá trị của \( y \) tại các điểm đầu mút của đoạn \([0; 12]\): - Khi \( t = 0 \): \[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 4 = -4 \] - Khi \( t = 12 \): \[ y = 12^2 + 2 \cdot 12 - 4 = 144 + 24 - 4 = 164 \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-3; 3]\) là \(-4\) và giá trị lớn nhất là \(164\). Đáp số: a. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-5\), đạt được khi \( x = -1 + \sqrt{3} \) hoặc \( x = -1 - \sqrt{3} \). b. Trên đoạn \([-3; 3]\): - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-4\). - Giá trị lớn nhất của hàm số là \(164\).