Cứuuuu tôiiiii

Câu 3: Để tìm giới hạn của biểu thức \( \lim_{x \to x_0} [2f(x) + 3g(x)] \), ta sẽ áp dụng các tính chất của giới hạn. Bước 1: Xác định giới hạn của mỗi hàm số: - Ta biết rằng \( \lim_{x \to x_0} f(x) = -1 \) - Ta cũng biết rằng \( \lim_{x \to x_0} g(x) = 4 \) Bước 2: Áp dụng tính chất giới hạn của tổng và bội số của hàm số: - Tính chất giới hạn của tổng: \( \lim_{x \to x_0} [h(x) + k(x)] = \lim_{x \to x_0} h(x) + \lim_{x \to x_0} k(x) \) - Tính chất giới hạn của bội số: \( \lim_{x \to x_0} [c \cdot h(x)] = c \cdot \lim_{x \to x_0} h(x) \) Áp dụng các tính chất này vào bài toán: \[ \lim_{x \to x_0} [2f(x) + 3g(x)] = \lim_{x \to x_0} [2f(x)] + \lim_{x \to x_0} [3g(x)] \] Bước 3: Tính giới hạn của mỗi thành phần: \[ \lim_{x \to x_0} [2f(x)] = 2 \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = 2 \cdot (-1) = -2 \] \[ \lim_{x \to x_0} [3g(x)] = 3 \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = 3 \cdot 4 = 12 \] Bước 4: Cộng các giới hạn lại: \[ \lim_{x \to x_0} [2f(x) + 3g(x)] = -2 + 12 = 10 \] Vậy, giới hạn của biểu thức \( \lim_{x \to x_0} [2f(x) + 3g(x)] \) là 10. Đáp số: 10 Câu 2: Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 4$, ta cần đảm bảo rằng: 1. Hàm số có giá trị tại điểm đó: $f(4)$ tồn tại. 2. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến điểm đó tồn tại: $\lim_{x \to 4} f(x)$ tồn tại. 3. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$. Bước 1: Xác định giá trị của hàm số tại điểm $x = 4$: \[ f(4) = 2m + 1 \] Bước 2: Tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 4: \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} \] Ta thấy rằng phân tử $x^2 - 5x + 4$ có thể phân tích thành: \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x - 1)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x - 1) = 4 - 1 = 3 \] Bước 3: Để hàm số liên tục tại $x = 4$, ta cần: \[ \lim_{x \to 4} f(x) = f(4) \] \[ 3 = 2m + 1 \] Giải phương trình này: \[ 2m + 1 = 3 \] \[ 2m = 2 \] \[ m = 1 \] Vậy giá trị của $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 4$ là $m = 1$. Câu 1: Đầu tiên, ta tính chu vi của bánh xe đạp: \[ C = 2 \pi r = 2 \times 3,14 \times 34 = 213,52 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta tính số vòng bánh xe quay trong 12 phút: \[ 12 \text{ phút} = 12 \times 60 = 720 \text{ giây} \] \[ \text{Số vòng bánh xe quay trong 720 giây} = \frac{720}{10} \times 25 = 1800 \text{ vòng} \] Bây giờ, ta tính tổng độ dài quãng đường mà bánh xe đã đi được: \[ \text{Quãng đường} = 1800 \times 213,52 = 3843360 \text{ cm} \] Cuối cùng, ta chuyển đổi đơn vị từ cm sang m và làm tròn đến hàng đơn vị: \[ 3843360 \text{ cm} = 38433,6 \text{ m} \approx 38434 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 12 phút là 38434 m. Câu 4: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm E và F. Vì E và F là hình chiếu của I và J qua phép chiếu song song theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD), nên ta có: - Điểm E nằm trên đường thẳng AB và EF // SO. - Điểm F nằm trên đường thẳng AD và EF // SO. Do đó, ta có thể suy ra rằng E và F nằm trên đường thẳng đi qua O và song song với SO. Bây giờ, ta sẽ tính tỉ số $\frac{OE}{OF}$. Ta biết rằng: - $BI = 2SI$, do đó $SB = SI + BI = SI + 2SI = 3SI$. Vậy $SI = \frac{1}{3}SB$. - $\frac{SJ}{SD} = \frac{2}{3}$, do đó $SJ = \frac{2}{3}SD$. Vì E và F là hình chiếu của I và J qua phép chiếu song song theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD), nên ta có: - OE = $\frac{1}{3}OB$ (vì I nằm ở vị trí $\frac{1}{3}$ của SB). - OF = $\frac{2}{3}OD$ (vì J nằm ở vị trí $\frac{2}{3}$ của SD). Vì ABCD là hình bình hành tâm O, nên OB = OD. Do đó, ta có: - OE = $\frac{1}{3}OB$ - OF = $\frac{2}{3}OD$ Tỉ số $\frac{OE}{OF}$ là: \[ \frac{OE}{OF} = \frac{\frac{1}{3}OB}{\frac{2}{3}OD} = \frac{\frac{1}{3}OB}{\frac{2}{3}OB} = \frac{1}{2} \] Vậy tỉ số $\frac{OE}{OF}$ là $\frac{1}{2}$. Đáp số: $\frac{OE}{OF} = \frac{1}{2}$. Câu 5: Trước tiên, ta xác định các điểm G và G' là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC, tương ứng. Mặt phẳng (P) chứa đoạn thẳng GG' và song song với mặt đáy (ABCD). Do đó, các đường thẳng SA, SB, SC, SD sẽ cắt mặt phẳng (P) tại các điểm E, F, H, K, tương ứng. Do (P) song song với (ABCD), nên các đoạn thẳng AE, BF, CH, DK sẽ tỉ lệ với các đoạn thẳng AS, BS, CS, DS, tương ứng. Vì G và G' là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC, nên GG' chia các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD theo tỉ lệ 1:2. Do đó, ta có: \[ \frac{AE}{AS} = \frac{BF}{BS} = \frac{CH}{CS} = \frac{DK}{DS} = \frac{1}{3} \] Bây giờ, ta tính diện tích của tứ giác EFHK. Ta biết rằng diện tích của một hình thang vuông ABCD là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times BC = \frac{1}{2} \times (15 + 12) \times 5 = \frac{1}{2} \times 27 \times 5 = 67.5 \] Mặt phẳng (P) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần, trong đó phần trên là một hình chóp nhỏ hơn và phần dưới là một hình chóp lớn hơn. Diện tích của tứ giác EFHK sẽ bằng $\left(\frac{1}{3}\right)^2$ lần diện tích của hình thang ABCD, vì các đoạn thẳng AE, BF, CH, DK chia các đoạn thẳng AS, BS, CS, DS theo tỉ lệ 1:2. Do đó, diện tích của tứ giác EFHK là: \[ S_{EFHK} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times S_{ABCD} = \frac{1}{9} \times 67.5 = 7.5 \] Vậy diện tích của tứ giác EFHK là: \[ \boxed{7.5} \] Câu 6: Trước tiên, chúng ta sẽ tính diện tích của hình vuông ban đầu ABCD: \[ S_1 = 2^2 = 4 \] Khi nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông ABCD, ta nhận được hình vuông thứ hai. Diện tích của hình vuông thứ hai sẽ bằng một nửa diện tích của hình vuông ban đầu: \[ S_2 = \frac{S_1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai, ta nhận được hình vuông thứ ba. Diện tích của hình vuông thứ ba sẽ bằng một nửa diện tích của hình vuông thứ hai: \[ S_3 = \frac{S_2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Như vậy, ta thấy rằng diện tích của mỗi hình vuông tiếp theo trong dãy sẽ bằng một nửa diện tích của hình vuông trước đó. Do đó, ta có thể viết diện tích của các hình vuông theo dạng dãy số: \[ S_1 = 4, \quad S_2 = 2, \quad S_3 = 1, \quad S_4 = \frac{1}{2}, \quad S_5 = \frac{1}{4}, \quad \ldots \] Dãy này là dãy số lũy thừa với công bội \( \frac{1}{2} \). Tổng diện tích của dãy các hình vuông này là tổng của dãy số lũy thừa vô hạn: \[ S_{\text{tổng}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + \cdots \] Tổng của dãy số lũy thừa vô hạn với công bội \( r \) (trong khoảng \( |r| < 1 \)) là: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{a}{1 - r} \] Trong đó, \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy và \( r \) là công bội. Áp dụng vào bài toán của chúng ta: \[ a = 4 \] \[ r = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \times 2 = 8 \] Vậy tổng diện tích của dãy các hình vuông đó là: \[ S_{\text{tổng}} = 8 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ S_{\text{tổng}} \approx 8.00 \] Đáp số: 8.00