Giúp tôi với

Câu 1. Trước tiên, ta sẽ xác định các đường thẳng song song trong hình chóp SABCD. 1. Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD, nên MN song song với AD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). 2. Vì P là trung điểm của AB, nên OP song song với BD (vì O là tâm của hình bình hành ABCD, do đó OA = OC và OB = OD). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $(MON) // (OPM)$: - Ta thấy MN song song với AD và OP song song với BD. Tuy nhiên, để hai mặt phẳng song song nhau, cần có ít nhất hai đường thẳng cắt nhau trong mỗi mặt phẳng và chúng phải song song với nhau. Ở đây, ta chưa đủ thông tin để kết luận rằng hai mặt phẳng này song song. B. $(SBD) // (MNP)$: - Ta thấy MN song song với AD và NP song song với BD (vì N là trung điểm của SD và P là trung điểm của AB). Do đó, hai đường thẳng MN và NP cắt nhau trong mặt phẳng (MNP) và song song với hai đường thẳng tương ứng trong mặt phẳng (SBD). Vậy $(SBD) // (MNP)$. C. $(MON) // (SBC)$: - Ta thấy MN song song với AD nhưng không có thông tin về đường thẳng ON và SC để kết luận rằng hai mặt phẳng này song song. D. $(PON) // (MNP)$: - Ta thấy OP song song với BD và ON song song với SD (vì O là tâm của hình bình hành ABCD và N là trung điểm của SD). Tuy nhiên, để hai mặt phẳng song song nhau, cần có ít nhất hai đường thẳng cắt nhau trong mỗi mặt phẳng và chúng phải song song với nhau. Ở đây, ta chưa đủ thông tin để kết luận rằng hai mặt phẳng này song song. Vậy khẳng định đúng là: B. $(SBD) // (MNP)$ Câu 2. Giá trị đại diện của nhóm [32;37) là trung điểm của khoảng này. Giá trị đại diện của nhóm [32;37) là: (32 + 37) : 2 = 34,5 Đáp án đúng là: D Câu 3. Để xác định khẳng định nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. \( I \in (ABD) \): - Điểm \( I \) nằm trên đường thẳng \( AB \) và \( AD \), do đó điểm \( I \) thuộc mặt phẳng \( (ABD) \). B. \( l \in (ACD) \): - Đường thẳng \( l \) đi qua điểm \( A \) và \( C \), do đó đường thẳng \( l \) thuộc mặt phẳng \( (ACD) \). C. \( I \in (MNQ) \): - Điểm \( I \) không nằm trên đường thẳng \( MN \) và \( MQ \), do đó điểm \( I \) không thuộc mặt phẳng \( (MNQ) \). D. \( I \in (BCD) \): - Điểm \( I \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và \( BD \), do đó điểm \( I \) thuộc mặt phẳng \( (BCD) \). Như vậy, khẳng định sai là: C. \( I \in (MNQ) \) Đáp án: C. \( I \in (MNQ) \) Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. - Đây là một mệnh đề đúng. Theo tính chất của đường thẳng song song trong không gian, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba, thì hai đường thẳng đó cũng song song với nhau. B. Trong không gian, hai đường cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau. - Đây là một mệnh đề sai. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba không nhất thiết phải trùng nhau. Chúng có thể song song nhưng không trùng nhau. C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chéo nhau. - Đây là một mệnh đề sai. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba, chúng không thể chéo nhau mà phải song song với nhau. D. Trong không gian, hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. - Đây là một mệnh đề đúng. Tuy nhiên, nó không chính xác vì không nói rõ hai đường thẳng phải phân biệt. Nếu hai đường thẳng trùng nhau, chúng vẫn song song với đường thẳng thứ ba nhưng không phải là hai đường thẳng phân biệt. Vậy, mệnh đề đúng là: A. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Đáp án: A. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. - M là trọng tâm của tam giác ABC, do đó M nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC. - N là trọng tâm của tam giác ABD, do đó N nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BD. Ta xét đường thẳng MN: - Vì M và N đều nằm trên các đường trung tuyến từ đỉnh A, nên đường thẳng MN sẽ song song với đường thẳng nối trung điểm của cạnh BC và trung điểm của cạnh BD. Trung điểm của cạnh BC và trung điểm của cạnh BD nằm trên mặt phẳng (BCD). Do đó, đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD). Vậy đáp án đúng là: C. (BCD) Đáp số: C. (BCD) Câu 6. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3x-2}-2}{x^2-4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt{3x-2}$ có nghĩa khi $3x - 2 \geq 0$, tức là $x \geq \frac{2}{3}$. - Biểu thức $x^2 - 4$ khác 0 khi $x \neq \pm 2$. Vì chúng ta đang xét giới hạn khi $x \rightarrow 2$, nên ta chỉ quan tâm đến $x \neq 2$. Bước 2: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3x-2}-2}{x^2-4} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt{3x-2}-2)(\sqrt{3x-2}+2)}{(x^2-4)(\sqrt{3x-2}+2)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức Tử số trở thành: \[ (\sqrt{3x-2})^2 - 2^2 = 3x - 2 - 4 = 3x - 6 \] Mẫu số trở thành: \[ (x^2 - 4)(\sqrt{3x-2} + 2) = (x - 2)(x + 2)(\sqrt{3x-2} + 2) \] Do đó, biểu thức ban đầu trở thành: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{3x - 6}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Bước 4: Rút gọn thêm Ta thấy rằng $3x - 6 = 3(x - 2)$, do đó: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{3x-2} + 2)} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{3}{(x + 2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Bước 5: Thay giá trị $x = 2$ vào biểu thức đã rút gọn \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{3}{(x + 2)(\sqrt{3x-2} + 2)} = \frac{3}{(2 + 2)(\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + 2)} = \frac{3}{4 \cdot (\sqrt{4} + 2)} = \frac{3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16} \] Vậy giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3x-2}-2}{x^2-4}$ có giá trị bằng $\frac{3}{16}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{16}$. Câu 7. Để tính $\sin\left(\frac{25\pi}{4}\right)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Chu kỳ của hàm sin: Hàm sin có chu kỳ là $2\pi$. Do đó, ta có thể giảm góc $\frac{25\pi}{4}$ về một góc trong khoảng từ $0$ đến $2\pi$ bằng cách trừ bớt các lần lặp của $2\pi$. 2. Giảm góc về khoảng $[0, 2\pi)$: \[ \frac{25\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} \] Vì $6\pi$ là số lần lặp của $2\pi$, ta có: \[ \frac{25\pi}{4} - 6\pi = \frac{\pi}{4} \] 3. Tính giá trị của $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, $\sin\left(\frac{25\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Câu 8. Trước tiên, ta tính tổng số người trong mẫu số liệu: \[ 25 + 2 + 9 + 34 + 34 + 9 = 113 \] Vì số lượng người là lẻ (113), nên trung vị sẽ là giá trị ở vị trí thứ $\left(\frac{113 + 1}{2}\right)$ = 57. Bây giờ, ta sẽ xác định nhóm chứa trung vị bằng cách tính tổng dồn dần số người từ nhóm đầu tiên: - Nhóm [45 ; 51): 25 người - Nhóm [51 ; 57): 2 người (tổng dồn: 25 + 2 = 27) - Nhóm [57 ; 63): 9 người (tổng dồn: 27 + 9 = 36) - Nhóm [63 ; 69): 34 người (tổng dồn: 36 + 34 = 70) Vị trí thứ 57 nằm trong khoảng từ 36 đến 70, do đó nhóm chứa trung vị là nhóm [63 ; 69). Đáp án đúng là: D. 63; 69).