Giải giúp em với ak

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng âm (\( x \to -\infty \)) và khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía (từ trái và từ phải). a. Tính \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) Khi \( x \to -\infty \), ta thấy rằng \( x < 1 \). Do đó, theo định nghĩa của hàm số, ta có: \[ f(x) = x \] Vậy: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty \] b. Tính \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\) và \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\) i. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 1^- \)) Khi \( x \to 1^- \), tức là \( x \) tiến đến 1 từ phía nhỏ hơn 1, ta có: \[ f(x) = x \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1 \] ii. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 1^+ \)) Khi \( x \to 1^+ \), tức là \( x \) tiến đến 1 từ phía lớn hơn 1, ta có: \[ f(x) = \frac{2x - 1}{x} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 1}{x} = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1} = \frac{1}{1} = 1 \] Kết luận Do cả hai giới hạn từ bên trái và bên phải đều bằng 1, ta có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \] Vậy đáp án đúng là: b. $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ Đáp án: b. $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một theo yêu cầu của đề bài. a) Ta có $f(1)=2$ Theo định nghĩa của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ x + 1 & \text{khi } x = 1 \end{cases} \] Khi $x = 1$, ta có: \[ f(1) = 1 + 1 = 2 \] Vậy, $f(1) = 2$. Đáp án đúng. b) Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$ Để kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0 = 1$, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. $f(1)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Ta đã biết $f(1) = 2$. Bây giờ, ta tính $\lim_{x \to 1} f(x)$ khi $x \neq 1$: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \] Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1)$, nên hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$. Đáp án đúng. c) Hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$ Hàm số $g(x) = 4x^2 - x + 1$ là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó, bao gồm cả điểm $x_0 = 1$. Đáp án đúng. d) Hàm số $y = f(x) - g(x)$ không liên tục tại điểm $x_1 = 1$ Hàm số $y = f(x) - g(x)$ là sự kết hợp của hai hàm số liên tục tại điểm $x_1 = 1$. Vì vậy, hàm số $y = f(x) - g(x)$ cũng liên tục tại điểm $x_1 = 1$. Đáp án sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Đáp án: a, b, c Câu 3. Đầu tiên, ta tính diện tích của hình vuông ban đầu: \[ S_0 = 8 \times 8 = 64 \text{ cm}^2 \] Tiếp theo, ta nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu để tạo thành hình vuông mới. Ta nhận thấy rằng mỗi cạnh của hình vuông mới sẽ bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ lần cạnh của hình vuông ban đầu. Do đó, diện tích của hình vuông mới sẽ là: \[ S_1 = \left( \frac{8}{\sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{8 \sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4^2 = 32 \text{ cm}^2 \] Tương tự, ta tiếp tục nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông mới để tạo thành các hình vuông tiếp theo. Diện tích của mỗi hình vuông tiếp theo sẽ giảm đi một nửa so với diện tích của hình vuông trước đó. Do đó, ta có: \[ S_2 = \frac{32}{2} = 16 \text{ cm}^2 \] \[ S_3 = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}^2 \] Bây giờ, ta xét từng mệnh đề: a) Dãy số $S_1, S_2, S_3, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn. - Đúng vì mỗi diện tích tiếp theo giảm đi một nửa so với diện tích trước đó, tức là tỷ số công bội là $\frac{1}{2}$. b) $S_2 = 30$ - Sai vì $S_2 = 16$. c) $S_3 = 8$ - Đúng vì $S_3 = 8$. d) Tổng diện tích các hình vuông được tạo thành là 32. - Sai vì tổng diện tích các hình vuông được tạo thành là: \[ S_1 + S_2 + S_3 + ... = 32 + 16 + 8 + ... \] Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 32 và tỷ số công bội là $\frac{1}{2}$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: \[ \frac{32}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64 \] Vậy, các mệnh đề đúng là: a) Dãy số $S_1, S_2, S_3, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn. c) $S_3 = 8$ Đáp số: a) Đúng, c) Đúng. Câu 4. a) Ta có: - M là trung điểm của SB và N là trung điểm của AB, suy ra MN // SA (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). - Mặt khác, MN nằm trong mặt phẳng (DMN) và SA không nằm trong mặt phẳng (DMN), do đó SA // (DMN). b) Ta có: - E là trung điểm của BD và M là trung điểm của SB, suy ra EM // SD (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). - Mặt khác, EM nằm trong mặt phẳng (CEM) và SD không nằm trong mặt phẳng (CEM), do đó SD // (CEM). - Vì SD // (CEM) nên SD cắt (CEM) tại một điểm duy nhất, gọi là F. - Do đó, SD cắt mặt phẳng (SAD) tại điểm D. c) Ta có: - E là trung điểm của BD và M là trung điểm của SB, suy ra EM // SD (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). - Mặt khác, EM nằm trong mặt phẳng (CEM) và SD không nằm trong mặt phẳng (CEM), do đó SD // (CEM). - Vì SD // (CEM) nên SD cắt (CEM) tại một điểm duy nhất, gọi là F. - Do đó, SD cắt mặt phẳng (SAD) tại điểm D. - Mặt khác, ta có SA // (DMN) và SA cắt (DMC) tại một điểm duy nhất, gọi là G. - Vì SA // (DMN) và SA cắt (DMC) tại G, do đó G là trung điểm của SA. d) Ta có: - E là trung điểm của BD và M là trung điểm của SB, suy ra EM // SD (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). - Mặt khác, EM nằm trong mặt phẳng (CEM) và SD không nằm trong mặt phẳng (CEM), do đó SD // (CEM). - Vì SD // (CEM) nên SD cắt (CEM) tại một điểm duy nhất, gọi là F. - Do đó, SD cắt mặt phẳng (SAD) tại điểm D. - Mặt khác, ta có SA // (DMN) và SA cắt (DMC) tại một điểm duy nhất, gọi là G. - Vì SA // (DMN) và SA cắt (DMC) tại G, do đó G là trung điểm của SA. - Vì SD // (CEM) và SA // (DMN), do đó (CEM) // (SAD). Đáp án: a) SA // (DMN) b) SD cắt (SAD) tại điểm D c) Giao điểm của SA và (DMC) là trung điểm SA d) (CEM) // (SAD) Câu 1. Để tính giá trị chỉ số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm "Dưới 70": Khoảng trung tâm là $\frac{0 + 70}{2} = 35$ - Nhóm "[70;85)": Khoảng trung tâm là $\frac{70 + 85}{2} = 77.5$ - Nhóm "[85;115)": Khoảng trung tâm là $\frac{85 + 115}{2} = 100$ - Nhóm "[115;130)": Khoảng trung tâm là $\frac{115 + 130}{2} = 122.5$ - Nhóm "[130;145)": Khoảng trung tâm là $\frac{130 + 145}{2} = 137.5$ 2. Tính tổng số người trong mẫu: Tổng số người là 100 người. 3. Tính tổng giá trị chỉ số IQ: - Nhóm "Dưới 70": $2 \times 35 = 70$ - Nhóm "[70;85)": $15 \times 77.5 = 1162.5$ - Nhóm "[85;115)": $45 \times 100 = 4500$ - Nhóm "[115;130)": $20 \times 122.5 = 2450$ - Nhóm "[130;145)": $15 \times 137.5 = 2062.5$ Tổng giá trị chỉ số IQ là: $70 + 1162.5 + 4500 + 2450 + 2062.5 = 10245$ 4. Tính giá trị chỉ số trung bình: Giá trị chỉ số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\frac{10245}{100} = 102.45$ Vậy giá trị chỉ số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 102.45. Câu 2. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt{x+8}$ có nghĩa khi $x + 8 \geq 0$, tức là $x \geq -8$. - Biểu thức $\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$ có nghĩa khi $x \neq 1$. Bước 2: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{(3-\sqrt{x+8})(3+\sqrt{x+8})}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})} \] Bước 3: Tính toán biểu thức đã nhân liên hợp \[ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{9-(x+8)}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{9-x-8}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{1-x}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}} \] Bước 4: Thay giá trị cận vào biểu thức \[ = \frac{-1}{3+\sqrt{1+8}} \] \[ = \frac{-1}{3+\sqrt{9}} \] \[ = \frac{-1}{3+3} \] \[ = \frac{-1}{6} \] Vậy giá trị của giới hạn là: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1} = -\frac{1}{6} \] Câu 3. Để tìm giá trị trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 2 + 7 + 10 + 25 = 44 học sinh. 2. Xác định vị trí của giá trị trung vị: Vì số lượng học sinh là 44 (số chẵn), giá trị trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 22 và 23. 3. Xác định khoảng chứa giá trị trung vị: - Nhóm [25;30) có 2 học sinh. - Nhóm [30;35) có 7 học sinh, tổng là 2 + 7 = 9 học sinh. - Nhóm [35;40) có 10 học sinh, tổng là 9 + 10 = 19 học sinh. - Nhóm [40;45) có 25 học sinh, tổng là 19 + 25 = 44 học sinh. Do đó, giá trị trung vị nằm trong nhóm [40;45). 4. Áp dụng công thức tính giá trị trung vị trong nhóm: Công thức: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_m} \right) \times d \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của nhóm chứa giá trị trung vị (ở đây là 40). - \(n\) là tổng số lượng học sinh (44). - \(F_{l-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa giá trị trung vị (19). - \(f_m\) là tần số của nhóm chứa giá trị trung vị (25). - \(d\) là khoảng cách của nhóm (5). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 40 + \left( \frac{\frac{44}{2} - 19}{25} \right) \times 5 \] \[ M = 40 + \left( \frac{22 - 19}{25} \right) \times 5 \] \[ M = 40 + \left( \frac{3}{25} \right) \times 5 \] \[ M = 40 + \frac{15}{25} \] \[ M = 40 + 0.6 \] \[ M = 40.6 \] Vậy giá trị trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 40.6 phút. Câu 4. Để mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (A'BC'), ta cần chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C' và đường thẳng NP song song với đường thẳng B'C'. Trước tiên, ta xét tam giác AB'C': - Điểm M nằm trên AB' và $\frac{AM}{AB'} = x$. - Điểm P nằm trên CB' và $\frac{CP}{CB'} = x$. Theo tỉ lệ trong tam giác, ta có: \[ \frac{AM}{AB'} = \frac{CP}{CB'} = x \] Do đó, đường thẳng MP sẽ song song với đường thẳng AC' (theo định lý Thales). Tiếp theo, ta xét tam giác AC'B': - Điểm N nằm trên AC' và $\frac{AN}{AC'} = x$. - Điểm P nằm trên CB' và $\frac{CP}{CB'} = x$. Theo tỉ lệ trong tam giác, ta có: \[ \frac{AN}{AC'} = \frac{CP}{CB'} = x \] Do đó, đường thẳng NP sẽ song song với đường thẳng AB' (theo định lý Thales). Bây giờ, ta xét tam giác AB'C': - Điểm M nằm trên AB' và $\frac{AM}{AB'} = x$. - Điểm N nằm trên AC' và $\frac{AN}{AC'} = x$. Theo tỉ lệ trong tam giác, ta có: \[ \frac{AM}{AB'} = \frac{AN}{AC'} = x \] Do đó, đường thẳng MN sẽ song song với đường thẳng BC' (theo định lý Thales). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng: - Đường thẳng MP song song với đường thẳng AC'. - Đường thẳng NP song song với đường thẳng AB'. - Đường thẳng MN song song với đường thẳng BC'. Điều này chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (A'BC') khi x = $\frac{1}{2}$. Vậy để (MNP) // (A'BC'), ta có: \[ x = \frac{1}{2} \] Đáp số: \( x = \frac{1}{2} \). Câu 5: Để tính độ dài \( GK \) cho mâm tầng giữa, chúng ta sẽ sử dụng tỉ lệ từ hình học. Cụ thể, vì các mâm tầng trên, giữa và dưới đều song song với nhau, nên các đoạn thẳng tương ứng trên các mâm tầng sẽ có tỉ lệ giống nhau. Bước 1: Xác định các đoạn thẳng liên quan: - \( AE = 80 \, cm \) - \( CG = 90 \, cm \) - \( EI = 36 \, cm \) Bước 2: Tính tổng chiều cao từ \( A \) đến \( G \): \[ AG = AE + EI + IG \] Bước 3: Vì \( EI = 36 \, cm \) và \( AE = 80 \, cm \), ta cần biết \( IG \). Ta giả sử \( IG = x \). Bước 4: Tính \( AG \): \[ AG = 80 + 36 + x = 116 + x \] Bước 5: Áp dụng tỉ lệ: \[ \frac{AE}{AG} = \frac{EI}{IG} \] \[ \frac{80}{116 + x} = \frac{36}{x} \] Bước 6: Giải phương trình tỉ lệ: \[ 80x = 36(116 + x) \] \[ 80x = 4176 + 36x \] \[ 80x - 36x = 4176 \] \[ 44x = 4176 \] \[ x = \frac{4176}{44} \] \[ x = 95 \, cm \] Bước 7: Tính \( GK \): \[ GK = CG - IG \] \[ GK = 90 - 95 \] \[ GK = 5 \, cm \] Vậy độ dài \( GK \) là 5 cm. Câu 6: Để tính giới hạn \( L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{8x + 11} - \sqrt{x + 7}}{x^2 - 3x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức \( \sqrt{8x + 11} \) xác định khi \( 8x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{11}{8} \). - Biểu thức \( \sqrt{x + 7} \) xác định khi \( x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \). Do đó, ĐKXĐ của biểu thức là \( x \geq -\frac{11}{8} \). Bước 2: Rút gọn biểu thức Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{8x + 11} - \sqrt{x + 7}}{x^2 - 3x + 2} \cdot \frac{\sqrt{8x + 11} + \sqrt{x + 7}}{\sqrt{8x + 11} + \sqrt{x + 7}} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân liên hợp \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{(8x + 11) - (x + 7)}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt{8x + 11} + \sqrt{x + 7})} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{7x + 4}{(x^2 - 3x + 2)(\sqrt{8x + 11} + \sqrt{x + 7})} \] Bước 4: Rút gọn mẫu số \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{7x + 4}{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{8x + 11} + \sqrt{x + 7})} \] Bước 5: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{7(1) + 4}{(1 - 1)(1 - 2)(\sqrt{8(1) + 11} + \sqrt{1 + 7})} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{11}{(0)(-1)(\sqrt{19} + \sqrt{8})} \] Bước 6: Kết luận Khi \( x \to 1 \), mẫu số \( (x - 1) \) tiến đến 0, dẫn đến biểu thức không xác định. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước để đảm bảo tính toán đúng đắn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta thấy rằng biểu thức ban đầu không thể rút gọn thêm nữa và giới hạn không tồn tại do mẫu số tiến đến 0. Vậy, giá trị của \( 10 \times L \) là không xác định vì \( L \) không tồn tại. Đáp số: \( 10 \times L \) không xác định.