Giúp e với

Câu 1. Chi phí sản xuất $x(m^3)$ sản phẩm mỗi ngày là: \[ c(x) = 3 + 0,12x \] Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là: \[ \overline{C}(x) = \frac{c(x)}{x} = \frac{3 + 0,12x}{x} \] Ta cần tính giới hạn: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 0,12x}{x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x} + 0,12 \right) \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{3}{x}$ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x} + 0,12 \right) = 0 + 0,12 = 0,12 \] Vậy: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = 0,12 \] Đáp số: 0,12 triệu đồng/m³ Câu 2. Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một phân số lũy thừa của 3. Dãy số này là một dãy số hình học vô hạn với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = \frac{1}{3} \). Công thức tính tổng của một dãy số hình học vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{3} \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{1}{\frac{2}{3}} \] \[ S = \frac{3}{2} \] Vậy tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \) là: \[ S = \frac{3}{2} \] Câu 3. Để tính Mốt \(M_o\) của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định nhóm có tần số lớn nhất. Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất. - Nhóm [0;4) có 2 học sinh. - Nhóm [4;8) có 4 học sinh. - Nhóm [8;12) có 7 học sinh. - Nhóm [12;16) có 4 học sinh. - Nhóm [16;20) có 3 học sinh. Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm [8;12) với 7 học sinh. Bước 2: Áp dụng công thức tính mốt: \[ M_o = x_l + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times d \] Trong đó: - \(x_l\) là cận dưới của nhóm có tần số lớn nhất. - \(f_m\) là tần số của nhóm có tần số lớn nhất. - \(f_{m-1}\) là tần số của nhóm liền trước nhóm có tần số lớn nhất. - \(f_{m+1}\) là tần số của nhóm liền sau nhóm có tần số lớn nhất. - \(d\) là khoảng cách giữa hai cận của nhóm có tần số lớn nhất. Áp dụng vào bài toán: - \(x_l = 8\) - \(f_m = 7\) - \(f_{m-1} = 4\) - \(f_{m+1} = 4\) - \(d = 12 - 8 = 4\) Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ M_o = 8 + \left( \frac{7 - 4}{(7 - 4) + (7 - 4)} \right) \times 4 \] \[ M_o = 8 + \left( \frac{3}{3 + 3} \right) \times 4 \] \[ M_o = 8 + \left( \frac{3}{6} \right) \times 4 \] \[ M_o = 8 + 0.5 \times 4 \] \[ M_o = 8 + 2 \] \[ M_o = 10 \] Vậy mốt \(M_o\) của mẫu số liệu là 10 phút. Câu 4. Để tính trung vị của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh trong nhóm là: \[ 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì tổng số học sinh là 20 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 10 và thứ 11. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Khoảng [0; 4) có 2 học sinh. - Khoảng [4; 8) có 4 học sinh, tổng là 2 + 4 = 6 học sinh. - Khoảng [8; 12) có 7 học sinh, tổng là 6 + 7 = 13 học sinh. - Khoảng [12; 16) có 4 học sinh, tổng là 13 + 4 = 17 học sinh. - Khoảng [16; 20) có 3 học sinh, tổng là 17 + 3 = 20 học sinh. Như vậy, trung vị nằm trong khoảng [8; 12). 4. Áp dụng công thức tính trung vị: Công thức tính trung vị trong khoảng là: \[ M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l}}{f_m} \right) \times d \] Trong đó: - \( l \) là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị (ở đây là 8). - \( n \) là tổng số lượng học sinh (ở đây là 20). - \( F_{l} \) là tổng số lượng học sinh trước khoảng chứa trung vị (ở đây là 6). - \( f_m \) là số lượng học sinh trong khoảng chứa trung vị (ở đây là 7). - \( d \) là độ rộng của khoảng (ở đây là 4). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 8 + \left( \frac{\frac{20}{2} - 6}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \left( \frac{10 - 6}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \left( \frac{4}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \frac{16}{7} \] \[ M = 8 + 2.2857 \] \[ M \approx 10.3 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu trên là 10.3 phút. Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của các đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Vì ABCD là hình bình hành, nên O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. Bây giờ, ta xét các trọng tâm I và J của các tam giác SAD và SBC: - Trọng tâm I của tam giác SAD nằm trên đường thẳng nối đỉnh S với trung điểm của cạnh AD (gọi là M). - Trọng tâm J của tam giác SBC nằm trên đường thẳng nối đỉnh S với trung điểm của cạnh BC (gọi là N). Do đó, ta có: - I nằm trên đoạn SM và chia đoạn này thành tỉ lệ 2:1 từ S đến M. - J nằm trên đoạn SN và chia đoạn này thành tỉ lệ 2:1 từ S đến N. Vì M và N là trung điểm của AD và BC, và do ABCD là hình bình hành, nên M và N cũng là trung điểm của các đường chéo BD và AC tương ứng. Do đó, M và N nằm trên đường thẳng đi qua O (giao điểm của các đường chéo). Tiếp theo, ta xét đoạn thẳng JI: - JI là đoạn thẳng nối hai trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. - Vì I và J đều nằm trên các đoạn thẳng SM và SN, và do M và N là trung điểm của các đường chéo, nên JI sẽ song song với MN và bằng $\frac{2}{3}$MN. Ta biết rằng MN là đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo BD và AC, và do đó MN = $\frac{1}{2}$BD. Vì ABCD là hình bình hành, BD = AC và BD = 12 (vì AB = 12 và BD là đường chéo của hình bình hành). Do đó, MN = $\frac{1}{2} \times 12 = 6$. Cuối cùng, JI = $\frac{2}{3} \times 6 = 4$. Vậy JI = 4. Đáp số: JI = 4. Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lăng trụ lục giác đều, các cạnh bên như \( AA' \), \( BB' \), ..., \( FF' \) đều bằng nhau và song song với nhau. Biết rằng \( AA' = 70 \, \text{cm} \). Ta cũng biết rằng \( A'A_1 = 6 \times AA_1 \). Điều này có nghĩa là \( A'A_1 \) dài gấp 6 lần \( AA_1 \). Do đó, ta có thể chia \( AA' \) thành 7 phần bằng nhau, mỗi phần là \( AA_1 \). \[ AA' = 7 \times AA_1 \] Vì \( AA' = 70 \, \text{cm} \), nên: \[ 7 \times AA_1 = 70 \, \text{cm} \] \[ AA_1 = \frac{70}{7} = 10 \, \text{cm} \] Bây giờ, ta cần tìm \( CC_1 \). Vì \( C'C_1 \) cũng sẽ có cùng tỷ lệ như \( A'A_1 \): \[ C'C_1 = 6 \times CC_1 \] Do đó, \( C'C_1 \) cũng sẽ chia \( CC' \) thành 7 phần bằng nhau, mỗi phần là \( CC_1 \): \[ CC' = 7 \times CC_1 \] Vì \( CC' = 70 \, \text{cm} \), nên: \[ 7 \times CC_1 = 70 \, \text{cm} \] \[ CC_1 = \frac{70}{7} = 10 \, \text{cm} \] Vậy, \( CC_1 = 10 \, \text{cm} \). Đáp số: \( CC_1 = 10 \, \text{cm} \).