giup em voi

Câu 13. a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu bằng tổng số học sinh trong tất cả các nhóm: \[ 1 + 6 + 12 + 14 + 8 = 41 \] Vậy cỡ mẫu của mẫu số liệu bằng 41. b) Giá trị đại diện nhóm $[2;4)$ bằng trung điểm của khoảng này: \[ \frac{2 + 4}{2} = 3 \] Vậy giá trị đại diện nhóm $[2;4)$ bằng 3. c) Độ dài nhóm $[6;8)$ bằng hiệu giữa giới hạn trên và giới hạn dưới của nhóm: \[ 8 - 6 = 2 \] Vậy độ dài nhóm $[6;8)$ bằng 2. d) Độ dài nhóm $[8;10)$ bằng hiệu giữa giới hạn trên và giới hạn dưới của nhóm: \[ 10 - 8 = 2 \] Vậy độ dài nhóm $[8;10)$ bằng 2. Đáp số: a) 41 b) 3 c) 2 d) 2 Câu 14. a) Ta có $\sqrt{3} > 1$, do đó $(\sqrt{3})^n$ sẽ tăng không giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng. Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{3})^n = +\infty \] b) Ta có $\pi > 1$, do đó $\pi^n$ sẽ tăng không giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng. Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \pi^n = +\infty \] c) Ta xét giới hạn của đa thức $n^3 + 2n^3 - 4$. Khi $n$ tiến đến vô cùng, các hạng tử bậc cao nhất sẽ chi phối giá trị của biểu thức. Biểu thức này có dạng $3n^3 - 4$, trong đó $3n^3$ là hạng tử bậc cao nhất. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} (n^3 + 2n^3 - 4) = \lim_{n \to \infty} (3n^3 - 4) = +\infty \] d) Ta xét giới hạn của đa thức $-n^4 + 5n^3 - 4$. Khi $n$ tiến đến vô cùng, các hạng tử bậc cao nhất sẽ chi phối giá trị của biểu thức. Biểu thức này có dạng $-n^4 + 5n^3 - 4$, trong đó $-n^4$ là hạng tử bậc cao nhất. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} (-n^4 + 5n^3 - 4) = -\infty \] Đáp số: a) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3})^n = +\infty$ b) $\lim_{n \to \infty} \pi^n = +\infty$ c) $\lim_{n \to \infty} (n^3 + 2n^3 - 4) = +\infty$ d) $\lim_{n \to \infty} (-n^4 + 5n^3 - 4) = -\infty$ Câu 15. Trước tiên, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng (CLJ) và mặt phẳng (BCD). - Mặt phẳng (CLJ) chứa điểm C và J. - Mặt phẳng (BCD) chứa các điểm B, C và D. Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm C và song song với đường thẳng LJ trong mặt phẳng (CLJ). Bây giờ, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) và mặt phẳng (BCD). - Mặt phẳng (CIJ) chứa điểm C, I và J. - Mặt phẳng (BCD) chứa các điểm B, C và D. Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm C và song song với đường thẳng IJ trong mặt phẳng (CIJ). Ta thấy rằng: - Điểm E nằm trên đường thẳng BD và cũng nằm trên đường thẳng IJ. - Đường thẳng IJ cắt BD tại điểm E. Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) và mặt phẳng (BCD) sẽ là đường thẳng CE. Cuối cùng, ta xác định số điểm mà giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) và mặt phẳng (BCD) cắt đoạn BD. - Giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng CE. - Đường thẳng CE cắt đoạn BD tại điểm E. Vậy, giao tuyến của mặt phẳng (CIJ) và mặt phẳng (BCD) cắt đoạn BD tại 1 điểm. Đáp số: 1 điểm. Câu 16. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - 7}{2n^2 + 3n - 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ (vì đây là bậc cao nhất trong cả tử số và mẫu số). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - 7}{2n^2 + 3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2} - \frac{7}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{3n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức. \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{7}{n^2}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}} \] Bước 3: Tìm giới hạn của các phân số khi $n \to \infty$. Các phân số dạng $\frac{a}{n^k}$ sẽ tiến đến 0 khi $n \to \infty$. \[ = \frac{3 - 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2} \] Vậy giới hạn của biểu thức là $\frac{3}{2}$. Do đó, $a = 3$ và $b = 2$, suy ra $a + b = 3 + 2 = 5$. Đáp số: $a + b = 5$. Câu 17. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và I là giao điểm của AM với MP (SBD). Ta sẽ chứng minh rằng $\overrightarrow{IA} = k\overrightarrow{IM}$ và tìm giá trị của $k^3$. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm và vectơ liên quan. - Vì M là trung điểm của SC nên $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$. - Ta cần tìm tỉ số $\frac{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IM}}$. Bước 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm. - Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. - Điểm M là trung điểm của SC, do đó $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$. Bước 3: Xét giao điểm I của AM và MP (SBD). - Ta có $\overrightarrow{IA} = k\overrightarrow{IM}$, tức là điểm I chia đoạn thẳng AM theo tỉ số $k$. Bước 4: Áp dụng tính chất của giao điểm trong tam giác. - Trong tam giác SBD, điểm M là trung điểm của SC, do đó đường thẳng AM cắt SBD tại điểm I. - Theo tính chất của giao điểm trong tam giác, ta có $\frac{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IM}} = 2$, nghĩa là $k = 2$. Bước 5: Tính giá trị của $k^3$. - Ta có $k = 2$, do đó $k^3 = 2^3 = 8$. Vậy giá trị của $k^3$ là 8. Đáp số: $k^3 = 8$. Câu 18. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2+5x+6}{x+3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\frac{x^2+5x+6}{x+3}$ có nghĩa khi $x + 3 \neq 0$, tức là $x \neq -3$. - Vì giới hạn khi $x \rightarrow 3$, nên điều kiện này không ảnh hưởng đến việc tính giới hạn. Bước 2: Rút gọn phân thức - Ta thấy rằng $x^2 + 5x + 6$ có thể phân tích thành $(x + 2)(x + 3)$. - Do đó, phân thức trở thành: \[ \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \] - Khi $x \neq -3$, ta có thể rút gọn phân thức: \[ \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} = x + 2 \] Bước 3: Tính giới hạn - Bây giờ, ta cần tính giới hạn của $x + 2$ khi $x \rightarrow 3$: \[ \lim_{x \rightarrow 3} (x + 2) = 3 + 2 = 5 \] Vậy, giới hạn $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2+5x+6}{x+3}$ bằng 5. Đáp số: 5