Giúp mình nha

Câu 13: Phương trình lượng giác $\cot3x=-\frac1{\sqrt3}$ tương đương với $\cot3x=\cot(\frac{-\pi}6)$. Từ đó, ta có: \[ 3x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = -\frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) Phương trình () tương đương với $\cot3x=\cot(\frac{-\pi}6)$: Đúng. b) Phương trình () có nghiệm $x=\frac{\pi}{9}+k\frac{\pi}{3}(k\in\mathbb{Z})$: Sai vì nghiệm đúng là $x = -\frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3}$. c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(-\frac{\pi}{2};0)$: - Khi $k=0$, ta có $x = -\frac{\pi}{18}$. - Khi $k=-1$, ta có $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{3} = -\frac{7\pi}{18}$. Tổng các nghiệm trong khoảng này là: \[ -\frac{\pi}{18} + (-\frac{7\pi}{18}) = -\frac{8\pi}{18} = -\frac{4\pi}{9} \] Do đó, phương án c sai. d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất: - Khi $k=1$, ta có $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{18}$. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{5\pi}{18}$, không phải $\frac{2\pi}{9}$. Do đó, phương án d sai. Kết luận: Chỉ có phương án a đúng. Câu 14: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng lựa chọn. a) Giá trị a lớn hơn 0. Ta tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{-3n + 2} \] Chia cả tử và mẫu cho n: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{-3 + \frac{2}{n}} \] Khi \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{2}{n}\) đều tiến đến 0, vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 0}{-3 + 0} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \] Vậy \( a = -\frac{2}{3} \). Do đó, giá trị a không lớn hơn 0. Lựa chọn a) sai. b) Ba số $-\frac{5}{3}; a; \frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Ta đã biết \( a = -\frac{2}{3} \). Ta kiểm tra xem ba số $-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ có tạo thành cấp số cộng với công sai bằng 2 hay không. Công sai giữa hai số đầu tiên: \[ -\frac{2}{3} - (-\frac{5}{3}) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Công sai giữa hai số cuối cùng: \[ \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Như vậy, ba số $-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng 1, không phải là 2. Lựa chọn b) sai. c) Trên khoảng $(-\pi; \pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Ta đã biết \( a = -\frac{2}{3} \). Phương trình lượng giác $\sin x = -\frac{2}{3}$ có hai nghiệm trong khoảng $(-\pi; \pi)$, không phải là 3 nghiệm. Lựa chọn c) sai. d) Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q = 3$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = -6$. Ta đã biết \( a = -\frac{2}{3} \). Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q = 3$ và $u_1 = -\frac{2}{3}$, ta tính $u_3$: \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 = -\frac{2}{3} \cdot 3^2 = -\frac{2}{3} \cdot 9 = -6 \] Vậy $u_3 = -6$. Lựa chọn d) đúng. Kết luận: Đáp án đúng là d). Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính giới hạn \( L = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 5} + x) \) và kiểm tra các trường hợp đã cho. Bước 1: Nhân lượng liên hợp để dễ dàng tính giới hạn: \[ L = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 5} + x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{(\sqrt{x^2 + ax + 5} + x)(\sqrt{x^2 + ax + 5} - x)}{\sqrt{x^2 + ax + 5} - x} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ (\sqrt{x^2 + ax + 5} + x)(\sqrt{x^2 + ax + 5} - x) = (x^2 + ax + 5) - x^2 = ax + 5 \] Bước 3: Tính mẫu số: \[ \sqrt{x^2 + ax + 5} - x \] Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ L = \lim_{x \to -\infty} \frac{ax + 5}{\sqrt{x^2 + ax + 5} - x} \] Bước 5: Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ L = \lim_{x \to -\infty} \frac{a + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{x^2}} - 1} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \( \frac{5}{x} \), \( \frac{a}{x} \), và \( \frac{5}{x^2} \) đều tiến đến 0: \[ L = \frac{a + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} - 1} = \frac{a}{1 - 1} = \frac{a}{0} \] Điều này cho thấy rằng giới hạn \( L \) sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( a \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: a) Khi \( L = 3 \): \[ \frac{a}{0} = 3 \Rightarrow a = 0 \text{ (không thể xảy ra)} \] b) Khi \( L > 0 \): \[ \frac{a}{0} > 0 \Rightarrow a > 0 \text{ (không thể xảy ra)} \] c) Khi \( L = 2 \): \[ \frac{a}{0} = 2 \Rightarrow a = 0 \text{ (không thể xảy ra)} \] d) Khi \( L = -6 \): \[ \frac{a}{0} = -6 \Rightarrow a = 0 \text{ (không thể xảy ra)} \] Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét lại phương trình \( x^2 + 11x - 12 = 0 \), ta có thể tìm nghiệm của nó: \[ x^2 + 11x - 12 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 + 4 \cdot 12}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-11 \pm 13}{2} \] \[ x_1 = \frac{-11 + 13}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-11 - 13}{2} = -12 \] Do đó, giá trị của \( a \) là một nghiệm của phương trình \( x^2 + 11x - 12 = 0 \), tức là \( a = 1 \) hoặc \( a = -12 \). Kết luận: \[ \boxed{d)~L = -6 \text{ thì giá trị của } a \text{ là một nghiệm của phương trình } x^2 + 11x - 12 = 0} \] Câu 16: Trước tiên, ta sẽ xác định vị trí của các điểm và mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD. 1. Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD): - Vì M nằm trên SA và thuộc mặt phẳng (ICD), nên M là giao điểm của SA với (ICD). Điều này đúng. 2. Ta có $SN = \frac{2}{3} SB$: - Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng tính chất của đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta chưa có thông tin về vị trí của N trên SB. Do đó, ta cần thêm thông tin để xác định vị trí của N. 3. Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$: - Ta cần sử dụng tính chất của đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song. Vì M và N là giao điểm của đường thẳng SA và SB với mặt phẳng (ICD), và vì I là trung điểm của SO, ta có thể suy ra rằng M và N chia SA và SB theo cùng một tỷ lệ. Do đó, MN sẽ bằng một nửa của AB, tức là $\frac{a}{2}$. Điều này đúng. 4. Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau: - Vì K là giao điểm của CN và DM trong mặt phẳng (CDMN), và vì SK là đường thẳng từ đỉnh S đến K, ta có thể suy ra rằng SK và BC chéo nhau. Điều này đúng. Tóm lại, các khẳng định đúng là: - a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD) - c) Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$ - d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau Đáp án: a, c, d Câu 17: Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{an^2 + bn + 1} - n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{an^2 + bn + 1} - n) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{an^2 + bn + 1} - n)(\sqrt{an^2 + bn + 1} + n)}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(an^2 + bn + 1) - n^2}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(a-1)n^2 + bn + 1}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(a-1)n + b + \frac{1}{n}}{\sqrt{a + \frac{b}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1} \right) \] Bước 4: Lấy giới hạn khi $n \to \infty$: \[ = \frac{(a-1)\cdot \infty + b + 0}{\sqrt{a + 0 + 0} + 1} \] \[ = \frac{(a-1)\cdot \infty + b}{\sqrt{a} + 1} \] Để giới hạn này bằng $\frac{3}{2}$, ta cần: \[ \frac{(a-1)\cdot \infty + b}{\sqrt{a} + 1} = \frac{3}{2} \] Do $(a-1)\cdot \infty$ phải bằng 0 để giới hạn hữu hạn, suy ra $a = 1$. Thay vào ta có: \[ \frac{b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \] \[ b = 3 \] Vậy $a = 1$ và $b = 3$, suy ra: \[ a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] Đáp số: $a^2 + b^2 = 10$. Câu 18: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giới hạn của phân thức đại số khi biến số tiến đến một giá trị hữu hạn. Trước tiên, ta xét giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx - 2}{x - 1} \] Để tồn tại giới hạn hữu hạn khi \( x \to 1 \), tử số \( ax^2 + bx - 2 \) phải bằng 0 khi \( x = 1 \). Do đó, ta thay \( x = 1 \) vào tử số: \[ a(1)^2 + b(1) - 2 = 0 \implies a + b - 2 = 0 \implies a + b = 2 \] Bây giờ, ta chia tử số \( ax^2 + bx - 2 \) cho \( x - 1 \): \[ ax^2 + bx - 2 = (x - 1)(Ax + B) \] Ta mở rộng vế phải: \[ ax^2 + bx - 2 = Ax^2 + Bx - Ax - B \] So sánh hệ số tương ứng của \( x^2 \), \( x \), và hằng số: \[ a = A, \quad b = B - A, \quad -2 = -B \] Từ đây, ta có: \[ B = 2 \] Thay \( B = 2 \) vào \( b = B - A \): \[ b = 2 - a \] Ta đã biết \( a + b = 2 \), thay \( b = 2 - a \) vào: \[ a + (2 - a) = 2 \implies 2 = 2 \] Điều này đúng, vậy ta đã tìm được \( a \) và \( b \). Tiếp theo, ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(ax + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (ax + 2) = a(1) + 2 = a + 2 \] Theo đề bài, giới hạn này bằng 3: \[ a + 2 = 3 \implies a = 1 \] Do đó, \( b = 2 - a = 2 - 1 = 1 \). Cuối cùng, ta tính giá trị biểu thức \( S = a + \frac{b}{4} \): \[ S = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là: \[ \boxed{\frac{5}{4}} \] Câu 19: Trước tiên, ta sẽ xác định vị trí của các điểm và mặt phẳng liên quan trong tứ diện ABCD. 1. Điểm P là trung điểm của AB, do đó \( AP = PB \). 2. Điểm Q là trung điểm của CD, do đó \( CQ = QD \). 3. Điểm R trên BC sao cho \( BR = 2RC \). Bây giờ, ta sẽ tìm giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh AD. Bước 1: Xác định tỉ số \(\frac{SA}{SD}\) Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán này. Giả sử: - \( A = (0, 0, 0) \) - \( B = (1, 0, 0) \) - \( C = (0, 1, 0) \) - \( D = (0, 0, 1) \) Từ đó: - \( P = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) \) (vì P là trung điểm của AB) - \( Q = \left( 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \) (vì Q là trung điểm của CD) - \( R = \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0 \right) \) (vì R chia BC theo tỉ số 2:1) Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng (PQR) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \( P, Q, R \) có thể được xác định bằng cách sử dụng phương pháp vectơ. Ta tính các vectơ: - \( \overrightarrow{PQ} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \) - \( \overrightarrow{PR} = \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, 0 \right) \) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (PQR) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} \] Tính tích vectơ: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 \end{vmatrix} = \left( -\frac{1}{6}, -\frac{1}{12}, -\frac{1}{6} \right) \] Phương trình mặt phẳng (PQR): \[ -\frac{1}{6}(x - \frac{1}{2}) - \frac{1}{12}(y - 0) - \frac{1}{6}(z - 0) = 0 \] \[ -\frac{1}{6}x + \frac{1}{12} - \frac{1}{12}y - \frac{1}{6}z = 0 \] \[ -2x - y - 2z = -1 \] \[ 2x + y + 2z = 1 \] Bước 3: Tìm giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh AD Cạnh AD có phương trình tham số: \[ x = 0, y = 0, z = t \] Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(0) + 0 + 2t = 1 \] \[ 2t = 1 \] \[ t = \frac{1}{2} \] Do đó, giao điểm S có tọa độ \( (0, 0, \frac{1}{2}) \). Bước 4: Tính tỉ số \(\frac{SA}{SD}\) - \( SA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \frac{1}{2} \) - \( SD = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (\frac{1}{2}-1)^2} = \frac{1}{2} \) Tỉ số: \[ \frac{SA}{SD} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \] Kết luận: \[ \frac{SA}{SD} = 1 \]