Cho hình lăng trụ đều ABC A'B'C' có AB=a, AA'=4a, M trung điểm B'C' a,CMR: B'C' vuông (AMA') b, Kẻ A'E vuông AM, CMR: (A'EB') vuông (AB'C') c, Tính góc giữa AM và mp (A'B'C') d, tính góc giữa A'C và mp...

a) Vì ABC A'B'C' là hình lăng trụ đều nên B'C' vuông góc với mặt phẳng (ABB'A'). Mà AM nằm trong mặt phẳng (ABB'A') nên B'C' vuông góc với AM. Mặt khác, do M là trung điểm của B'C' nên B'C' vuông góc với A'M. Từ đó suy ra B'C' vuông góc với mặt phẳng (AMA') (vì B'C' vuông góc với cả hai giao tuyến AM và A'M của mặt phẳng (AMA')). b) Ta có A'E vuông góc với AM và B'C' vuông góc với mặt phẳng (AMA'), suy ra B'C' vuông góc với A'E. Do đó, A'E vuông góc với cả hai giao tuyến B'C' và B'C' của mặt phẳng (AB'C'), vậy A'E vuông góc với mặt phẳng (AB'C'). Từ đó suy ra mặt phẳng (A'EB') vuông góc với mặt phẳng (AB'C') (vì A'E nằm trong mặt phẳng (A'EB') và vuông góc với mặt phẳng (AB'C')). c) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A' xuống AM. Vì B'C' vuông góc với mặt phẳng (AMA') nên B'C' vuông góc với AH. Do đó, góc giữa AM và mặt phẳng (A'B'C') là góc giữa AM và A'H, tức là góc AHA'. Ta có: \[ \tan(\angle AHA') = \frac{A'H}{AH} \] Trong tam giác vuông AHA', ta có: \[ A'H = \frac{A'B' \cdot A'M}{AM} = \frac{a \cdot 2a}{\sqrt{(2a)^2 + (4a)^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{20a^2}} = \frac{2a^2}{2a\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}} \] \[ AH = \sqrt{AM^2 - A'H^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left( \frac{a}{\sqrt{5}} \right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{5}} = \sqrt{\frac{20a^2 - a^2}{5}} = \sqrt{\frac{19a^2}{5}} = \frac{a\sqrt{19}}{\sqrt{5}} \] Do đó: \[ \tan(\angle AHA') = \frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{a\sqrt{19}}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{\sqrt{19}} \] Suy ra góc giữa AM và mặt phẳng (A'B'C') là: \[ \angle AHA' = \arctan\left( \frac{1}{\sqrt{19}} \right) \] d) Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ A' xuống B'C'. Vì B'C' vuông góc với mặt phẳng (ABB'A'), suy ra B'C' vuông góc với AK. Do đó, góc giữa A'C và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa A'C và A'K, tức là góc A'CK. Ta có: \[ \cos(\angle A'CK) = \frac{A'K}{A'C} \] Trong tam giác vuông A'CK, ta có: \[ A'K = \frac{A'B' \cdot A'C'}{B'C'} = \frac{a \cdot 4a}{a} = 4a \] \[ A'C = \sqrt{A'B'^2 + B'C'^2} = \sqrt{a^2 + (4a)^2} = \sqrt{a^2 + 16a^2} = \sqrt{17a^2} = a\sqrt{17} \] Do đó: \[ \cos(\angle A'CK) = \frac{4a}{a\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} \] Suy ra góc giữa A'C và mặt phẳng (BCC'B') là: \[ \angle A'CK = \arccos\left( \frac{4}{\sqrt{17}} \right) \]