eifhjsiwkfb

Câu 5. Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x} \] Bước 2: Nhân liên hợp: \[ = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \(x\) để dễ dàng hơn trong việc tìm giới hạn: \[ = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + \frac{x}{x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} + 1} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1} \] Bước 4: Tìm giới hạn của từng thành phần: \[ = \frac{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}}{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \lim_{x\rightarrow+\infty}1} = \frac{0}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)$ là 0. Đáp án đúng là: A. 0.