Giúp mình với

Câu 2. a) Đúng vì $f(1)=\frac{-1}{2}$ b) Sai vì $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\frac{-1}{2}$ và $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\frac{1}{2}$. Vậy $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ không tồn tại nên f(x) không liên tục tại $x_0=1$ c) Sai vì $g(2)=2^2-3\times 2+1=-1$ và $\lim_{x\rightarrow 2}g(x)=g(2)$ nên g(x) liên tục tại $x_0=2$ d) Đúng vì f(x) không liên tục tại $x_0=1$ nên y=f(x).g(x) không liên tục tại điểm $x_0=1$ Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a. Dãy số $a_1, a_2, a_3, ...$ là cấp số nhân lùi vô hạn. - Ta thấy sau mỗi lần nảy lên, quả bóng đạt độ cao mới bằng $\frac{2}{3}$ của độ cao trước đó. - Do đó, dãy số $a_1, a_2, a_3, ...$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{2}{3}$. - Vì $|q| < 1$, nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn. Vậy mệnh đề a là Đúng. b. $a_1 = 5$. - Quả bóng được thả từ độ cao ban đầu là 5m, tức là sau lần nảy lên đầu tiên, quả bóng đạt độ cao $a_1 = 5$. Vậy mệnh đề b là Đúng. c. $a_3 = \frac{40}{27}$. - Ta biết rằng $a_1 = 5$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. - Độ cao sau lần nảy lên thứ hai là $a_2 = a_1 \cdot q = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$. - Độ cao sau lần nảy lên thứ ba là $a_3 = a_2 \cdot q = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$. Vậy mệnh đề c là Sai vì $a_3 = \frac{20}{9}$ chứ không phải $\frac{40}{27}$. d. Tổng độ cao mà quả bóng này lên là 15m. - Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức $S = \frac{a_1}{1 - q}$. - Ở đây, $a_1 = 5$ và $q = \frac{2}{3}$. - Vậy tổng độ cao mà quả bóng nảy lên là: \[ S = \frac{5}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{5}{\frac{1}{3}} = 5 \cdot 3 = 15 \text{m}. \] Vậy mệnh đề d là Đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a: Đúng. - Mệnh đề b: Đúng. - Mệnh đề c: Sai. - Mệnh đề d: Đúng. Câu 4. a) Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M và song song với CD, do đó giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua M và song song với CD. Vì ABCD là hình bình hành nên CD song song với AB, suy ra giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AD. b) Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M và song song với SA, do đó giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng (SAD) là đường thẳng đi qua M và song song với SA. c) Vì mặt phẳng $(\alpha)$ song song với CD và SA, nên MN song song với CD và PQ song song với SA. Vì ABCD là hình bình hành nên CD song song với AB, suy ra MN song song với AB. Mặt khác, vì SA song song với PQ, nên PQ song song với SA. Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang có hai đáy là MN và PQ. d) Gọi $I=MQ\cap NP$. Vì MQ và NP đều nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và giao nhau tại I, nên I thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Mặt khác, vì SA song song với PQ và SA nằm trong mặt phẳng (SAD), nên PQ cũng song song với SA. Do đó, I thuộc đường thẳng đi qua S và song song với AB. Đáp số: a) Giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AD. b) Giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với mặt phẳng (SAD) là đường thẳng đi qua M và song song với SA. c) Tứ giác MNPQ là hình thang có hai đáy là MN và PQ. d) Gọi $I=MQ\cap NP$. Khi đó I thuộc đường thẳng đi qua S và song song với AB. Câu 1. Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng mẫu số liệu: \[ n = 4 + 8 + 13 + 6 + 4 = 35 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: - Vì \( n = 35 \) là số lẻ, nên trung vị nằm ở vị trí thứ \(\frac{35 + 1}{2} = 18\). 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [1;5) có 4 mẫu số liệu. - Nhóm [5;9) có 8 mẫu số liệu, tổng là 4 + 8 = 12 mẫu số liệu. - Nhóm [9;13) có 13 mẫu số liệu, tổng là 12 + 13 = 25 mẫu số liệu. Vì trung vị nằm ở vị trí thứ 18, nên nó thuộc nhóm [9;13). 4. Áp dụng công thức tính trung vị trong nhóm: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n+1}{2} - F_{l-1}}{f_m} \right) \times d \] Trong đó: - \( x_l \) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (ở đây là 9). - \( F_{l-1} \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (ở đây là 12). - \( f_m \) là tần số của nhóm chứa trung vị (ở đây là 13). - \( d \) là khoảng rộng của nhóm (ở đây là 13 - 9 = 4). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 9 + \left( \frac{18 - 12}{13} \right) \times 4 \] \[ M = 9 + \left( \frac{6}{13} \right) \times 4 \] \[ M = 9 + \frac{24}{13} \] \[ M = 9 + 1,846 \] \[ M \approx 10,846 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 10,846. Câu 2. Để tính thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính trung bình cộng của dữ liệu ghép nhóm. Bước 1: Xác định điểm giữa của mỗi khoảng thời gian. - Khoảng [33;35): Điểm giữa là $\frac{33 + 35}{2} = 34$ phút. - Khoảng [35;37): Điểm giữa là $\frac{35 + 37}{2} = 36$ phút. - Khoảng [37;39): Điểm giữa là $\frac{37 + 39}{2} = 38$ phút. - Khoảng [39;41): Điểm giữa là $\frac{39 + 41}{2} = 40$ phút. - Khoảng [41;43): Điểm giữa là $\frac{41 + 43}{2} = 42$ phút. - Khoảng [43;45): Điểm giữa là $\frac{43 + 45}{2} = 44$ phút. Bước 2: Tính tổng số phút của tất cả các học sinh trong mỗi khoảng thời gian. - Khoảng [33;35): Tổng số phút = 34 × 4 = 136 phút. - Khoảng [35;37): Tổng số phút = 36 × 13 = 468 phút. - Khoảng [37;39): Tổng số phút = 38 × 38 = 1444 phút. - Khoảng [39;41): Tổng số phút = 40 × 27 = 1080 phút. - Khoảng [41;43): Tổng số phút = 42 × 14 = 588 phút. - Khoảng [43;45): Tổng số phút = 44 × 4 = 176 phút. Bước 3: Tính tổng số phút của tất cả các học sinh. Tổng số phút = 136 + 468 + 1444 + 1080 + 588 + 176 = 3892 phút. Bước 4: Tính thời gian trung bình. Thời gian trung bình = $\frac{3892}{100} = 38,92$ phút. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: Thời gian trung bình = 38,9 phút. Đáp số: 38,9 phút. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn: Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{ax + 1} - \sqrt{1 - bx}}{x} = 4 \] 2. Phân tích giới hạn: Khi \( x \to -\infty \), ta có thể xấp xỉ các căn thức như sau: \[ \sqrt[3]{ax + 1} \approx \sqrt[3]{ax} = a^{1/3} x^{1/3} \] \[ \sqrt{1 - bx} \approx \sqrt{-bx} = (-b)^{1/2} x^{1/2} \] 3. Thay vào biểu thức: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{a^{1/3} x^{1/3} - (-b)^{1/2} x^{1/2}}{x} \] 4. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{a^{1/3} x^{1/3}}{x} - \frac{(-b)^{1/2} x^{1/2}}{x} \right) \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \left( a^{1/3} x^{-2/3} - (-b)^{1/2} x^{-1/2} \right) \] 5. Xét giới hạn từng phần: \[ \lim_{x \to -\infty} a^{1/3} x^{-2/3} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} (-b)^{1/2} x^{-1/2} = 0 \] Tuy nhiên, để giới hạn tổng bằng 4, ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Ta nhận thấy rằng \( x^{-1/2} \) sẽ tạo ra một hằng số khi nhân với \( x \). 6. Xét lại biểu thức ban đầu: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{ax + 1} - \sqrt{1 - bx}}{x} = 4 \] Ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Ta nhận thấy rằng: \[ \sqrt[3]{ax + 1} \approx \sqrt[3]{ax} = a^{1/3} x^{1/3} \] \[ \sqrt{1 - bx} \approx \sqrt{-bx} = (-b)^{1/2} x^{1/2} \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{a^{1/3} x^{1/3} - (-b)^{1/2} x^{1/2}}{x} = 4 \] Điều này chỉ đúng nếu: \[ \frac{(-b)^{1/2}}{x^{1/2}} = 4 \] Suy ra: \[ (-b)^{1/2} = 4 \] \[ b = -16 \] 7. Thay \( b = -16 \) vào phương trình \( 2a - 5b = -8 \): \[ 2a - 5(-16) = -8 \] \[ 2a + 80 = -8 \] \[ 2a = -88 \] \[ a = -44 \] Vậy, giá trị của \( a \) và \( b \) là: \[ a = -44, \quad b = -16 \] Câu 4. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho mặt phẳng \( (MNG) \) song song với mặt phẳng \( (SAD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của các điểm trên các đường thẳng: - \( M \) nằm trên \( SB \) và \( \frac{BM}{SB} = x \). - \( N \) nằm trên \( AC \) và \( \frac{CN}{AC} = x \). 2. Xác định trọng tâm \( G \) của tam giác \( SCD \): Trọng tâm \( G \) của tam giác \( SCD \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ \( \frac{2}{3} \) và \( \frac{1}{3} \). 3. Tìm điều kiện để \( (MNG) \parallel (SAD) \): Để \( (MNG) \parallel (SAD) \), các vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MG} \) phải song song với các vectơ trong mặt phẳng \( (SAD) \). 4. Xác định các vectơ: - \( \overrightarrow{MN} \) là vectơ từ \( M \) đến \( N \). - \( \overrightarrow{MG} \) là vectơ từ \( M \) đến \( G \). 5. Phân tích các vectơ: - \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \) - \( \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MS} + \overrightarrow{SG} \) 6. Áp dụng điều kiện song song: Mặt phẳng \( (MNG) \) song song với mặt phẳng \( (SAD) \) nếu các vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MG} \) song song với các vectơ trong \( (SAD) \). 7. Tìm giá trị của \( x \): Ta cần \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MG} \) song song với các vectơ trong \( (SAD) \). Điều này xảy ra khi \( x = \frac{1}{2} \). Vậy, giá trị của \( x \) để \( (MNG) \parallel (SAD) \) là: \[ x = \frac{1}{2} \] Đáp số: \( x = \frac{1}{2} \) Câu 5. Để chiếc bàn không bị cập kênh, tổng chiều dài của hai chân đối diện phải bằng nhau. Ta có: AM + CH = BN + DK Do đó: DK = AM + CH - BN Thay các giá trị đã cho vào công thức trên, ta có: DK = 65,5 cm + 64 cm - 64,5 cm Tính toán: DK = 65,5 cm + 64 cm - 64,5 cm = 65 cm Đổi đơn vị từ cm sang mm: DK = 65 cm = 650 mm Vậy độ dài chân bàn DK là 650 mm. Đáp số: 650 mm Câu 6. Để tính giới hạn $\lim_{x \to 5} \frac{4x - x^2 - f(5)}{x - 5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của $f(5)$: \[ f(5) = 4 \cdot 5 - 5^2 = 20 - 25 = -5 \] Bước 2: Thay giá trị của $f(5)$ vào biểu thức giới hạn: \[ \lim_{x \to 5} \frac{4x - x^2 - (-5)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{4x - x^2 + 5}{x - 5} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức trong giới hạn: \[ \lim_{x \to 5} \frac{4x - x^2 + 5}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{-x^2 + 4x + 5}{x - 5} \] Bước 4: Nhân tử chung ở tử số: \[ -x^2 + 4x + 5 = -(x^2 - 4x - 5) = -(x - 5)(x + 1) \] Bước 5: Thay vào biểu thức giới hạn: \[ \lim_{x \to 5} \frac{-(x - 5)(x + 1)}{x - 5} \] Bước 6: Rút gọn phân thức: \[ \lim_{x \to 5} -(x + 1) \] Bước 7: Tính giới hạn khi $x$ tiến đến 5: \[ \lim_{x \to 5} -(x + 1) = -(5 + 1) = -6 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{x \to 5} \frac{4x - x^2 - f(5)}{x - 5} = -6 \]