Cho $\log_{12}27=x$.Tính $\log_{6}$16 theo x

Để tính $\log_{6}16$ theo $x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - $\log_{12}27 = x$ có nghĩa là $12^x = 27$ - $\log_{6}16$ có nghĩa là $6^y = 16$ Bước 2: Biểu diễn $\log_{6}16$ theo $\log_{12}27$ - Ta biết rằng $\log_{12}27 = x$, tức là $12^x = 27$. - Ta cũng biết rằng $\log_{6}16 = y$, tức là $6^y = 16$. Bước 3: Biểu diễn $27$ và $16$ dưới dạng lũy thừa cơ bản - $27 = 3^3$ - $16 = 2^4$ Bước 4: Biểu diễn $12$ dưới dạng lũy thừa cơ bản - $12 = 2^2 \cdot 3$ Bước 5: Biểu diễn $\log_{12}27$ và $\log_{6}16$ theo cơ số chung - $\log_{12}27 = \log_{12}(3^3) = 3\log_{12}3$ - $\log_{6}16 = \log_{6}(2^4) = 4\log_{6}2$ Bước 6: Biểu diễn $\log_{12}3$ và $\log_{6}2$ theo cơ số chung - $\log_{12}3 = \frac{\log_{3}3}{\log_{3}12} = \frac{1}{\log_{3}(2^2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_{3}2^2 + \log_{3}3} = \frac{1}{2\log_{3}2 + 1}$ - $\log_{6}2 = \frac{\log_{2}2}{\log_{2}6} = \frac{1}{\log_{2}(2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_{2}2 + \log_{2}3} = \frac{1}{1 + \log_{2}3}$ Bước 7: Kết hợp các biểu thức trên - $\log_{12}27 = 3\log_{12}3 = 3 \cdot \frac{1}{2\log_{3}2 + 1} = x$ - $\log_{6}16 = 4\log_{6}2 = 4 \cdot \frac{1}{1 + \log_{2}3}$ Bước 8: Biểu diễn $\log_{2}3$ theo $x$ - Từ $\log_{12}27 = x$, ta có $3 \cdot \frac{1}{2\log_{3}2 + 1} = x$ - Điều này suy ra $\frac{1}{2\log_{3}2 + 1} = \frac{x}{3}$ - Do đó, $2\log_{3}2 + 1 = \frac{3}{x}$ - Suy ra $\log_{3}2 = \frac{\frac{3}{x} - 1}{2} = \frac{3 - x}{2x}$ Bước 9: Biểu diễn $\log_{2}3$ theo $\log_{3}2$ - $\log_{2}3 = \frac{1}{\log_{3}2} = \frac{2x}{3 - x}$ Bước 10: Thay vào biểu thức $\log_{6}16$ - $\log_{6}16 = 4 \cdot \frac{1}{1 + \log_{2}3} = 4 \cdot \frac{1}{1 + \frac{2x}{3 - x}} = 4 \cdot \frac{1}{\frac{3 - x + 2x}{3 - x}} = 4 \cdot \frac{3 - x}{3 + x} = \frac{4(3 - x)}{3 + x}$ Vậy $\log_{6}16 = \frac{4(3 - x)}{3 + x}$