giup e voi

Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$. 2. Tìm giá trị của $a$ từ giới hạn đã tính. 3. Xác định số nghiệm của phương trình $\sin2x = 3a$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$. Bước 1: Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$ Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} \] Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x+4} + 3$ để loại bỏ căn thức ở tử số: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x+4}+3)}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \] Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{(x+4)-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \] Rút gọn phân thức: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+3} \] Thay $x = 0$ vào biểu thức: \[ \frac{1}{\sqrt{0+4}+3} = \frac{1}{2+3} = \frac{1}{5} \] Vậy: \[ a = \frac{1}{5} \] Bước 2: Xác định số nghiệm của phương trình $\sin2x = 3a$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ Thay $a = \frac{1}{5}$ vào phương trình: \[ \sin2x = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] Phương trình trở thành: \[ \sin2x = \frac{3}{5} \] Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, ta có: \[ 0 \leq 2x \leq \pi \] Phương trình $\sin2x = \frac{3}{5}$ có hai nghiệm trong khoảng $[0; \pi]$: \[ 2x = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{và} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \] Do đó: \[ x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \quad \text{và} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \] Cả hai nghiệm đều nằm trong đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$. Vậy phương trình $\sin2x = \frac{3}{5}$ có 2 nghiệm trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$. Đáp số: Phương trình $\sin2x = 3a$ có 2 nghiệm trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$. Câu 20: Ta có: $\frac{BR}{BC}=\frac{2}{3}$ Lấy điểm U trên cạnh BD sao cho $\frac{BU}{BD}=\frac{2}{3}$ Khi đó ta có: $\frac{BR}{BC}=\frac{BU}{BD}$ $\Rightarrow RU//CD$ Mà Q là trung điểm của CD nên Q cũng là trung điểm của RU. Lại có P là trung điểm của AB nên PQ//AU $\Rightarrow$ mp(PQR)//AU Suy ra: AU//mp(PQR) Mà mp(PQR) cắt AD tại S nên AU//SD $\Rightarrow \frac{SA}{SD}=\frac{BU}{BD}=\frac{2}{3}$ Câu 21: Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (BCD) sẽ cắt các cạnh AC và AD tại các điểm N và P tương ứng. Vì (P) song song với (BCD), nên các đoạn thẳng MN và MP sẽ song song với BC và BD. Do đó, tam giác MNP sẽ đồng dạng với tam giác BCD với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ (vì M là trung điểm của AB). Diện tích của tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương của tỉ số đồng dạng. Vậy diện tích của tam giác MNP sẽ là: \[ S_{MNP} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times S_{BCD} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 \] Thiết diện của tứ diện ABCD do mặt phẳng (P) cắt qua là hình thang AMNP, trong đó tam giác MNP có diện tích đã tính là 4. Diện tích của tam giác AMN cũng sẽ là 4 vì tam giác AMN đồng dạng với tam giác BNC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$. Do đó, diện tích của thiết diện AMNP là: \[ S_{AMNP} = S_{AMN} + S_{MNP} = 4 + 4 = 8 \] Đáp số: 8 Câu 22: Để hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$, ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1 và giá trị của hàm số tại điểm đó. Trước tiên, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} \] Ta thấy rằng tử số $x^2 - 3x + 2$ có thể phân tích thành: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1 \] Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1 là $-1$. Để hàm số gián đoạn tại $x = 1$, giá trị của hàm số tại điểm đó phải khác giới hạn này. Do đó, ta cần tìm giá trị của $a$ sao cho $f(1) \neq -1$. Theo đề bài, hàm số được định nghĩa là: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ a & \text{khi } x = 1 \end{cases} \] Vì vậy, để hàm số gián đoạn tại $x = 1$, ta cần: \[ a \neq -1 \] Kết luận: Để hàm số gián đoạn tại $x = 1$, giá trị của $a$ phải thỏa mãn: \[ a \neq -1 \] Câu 23: Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 + 6n^2 - 3n + 2025}{3n^3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^3$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 + 6n^2 - 3n + 2025}{3n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^3}{n^3} + \frac{6n^2}{n^3} - \frac{3n}{n^3} + \frac{2025}{n^3}}{\frac{3n^3}{n^3}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{6}{n} - \frac{3}{n^2} + \frac{2025}{n^3}}{3} \] Bước 3: Tính giới hạn của các phân số khi $n \to \infty$: \[ = \frac{4 + 0 - 0 + 0}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy giới hạn là $\frac{4}{3}$, do đó $a = 4$ và $b = 3$. Tổng $a + b = 4 + 3 = 7$. Đáp số: $a + b = 7$. Câu 24 Để ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số nhân viên: Tổng số nhân viên = 17 + 38 + 27 + 21 + 7 = 110 2. Xác định vị trí của các tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{110}{4} = 27,5$ (gần với 28) - Tứ phân vị thứ hai (Q2) nằm ở vị trí $\frac{110}{2} = 55$ - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3 \times 110}{4} = 82,5$ (gần với 83) 3. Xác định khoảng chứa các tứ phân vị: - Q1 nằm trong khoảng [10;15) vì 28 nằm giữa 17 và 55. - Q2 nằm trong khoảng [15;20) vì 55 nằm giữa 55 và 82. - Q3 nằm trong khoảng [20;25) vì 83 nằm giữa 82 và 109. 4. Tính giá trị của các tứ phân vị: - Q1: Sử dụng công thức ước lượng: \[ Q1 = 10 + \left(\frac{28 - 17}{38}\right) \times 5 = 10 + \left(\frac{11}{38}\right) \times 5 \approx 10 + 1,42 = 11,42 \] - Q2: Sử dụng công thức ước lượng: \[ Q2 = 15 + \left(\frac{55 - 55}{21}\right) \times 5 = 15 + 0 \times 5 = 15 \] - Q3: Sử dụng công thức ước lượng: \[ Q3 = 20 + \left(\frac{83 - 82}{7}\right) \times 5 = 20 + \left(\frac{1}{7}\right) \times 5 \approx 20 + 0,71 = 20,71 \] Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: - Q1 ≈ 11,42 triệu đồng - Q2 = 15 triệu đồng - Q3 ≈ 20,71 triệu đồng