Giúp e vơia

Câu 4. a) Đúng vì tổng số học sinh là $2 + 7 + 10 + 25 = 44$ học sinh. b) Sai vì mốt $M_0$ của mẫu số liệu trên thuộc nhóm $[40;45)$ vì nhóm này có tần số lớn nhất là 25. c) Đúng vì trung bình thời gian hoàn thành bài kiểm tra của mỗi học sinh là: $\frac{2 \times 27,5 + 7 \times 32,5 + 10 \times 37,5 + 25 \times 42,5}{44} = \frac{430}{11}$ phút d) Sai vì tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu là 35 vì $\frac{44}{4} = 11$, 11 số hạng đầu tiên thuộc các nhóm $[25;30)$, $[30;35)$ và nhóm $[35;40)$, trong đó có 2 số hạng thuộc nhóm $[25;30)$, 7 số hạng thuộc nhóm $[30;35)$ và 2 số hạng thuộc nhóm $[35;40)$. Vậy $Q_1$ thuộc nhóm $[35;40)$ và bằng 35. Câu 1. Chi phí sản xuất $x(m^3)$ sản phẩm mỗi ngày là: \[ c(x) = 3 + 0,12x \] Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là: \[ \overline{C}(x) = \frac{c(x)}{x} = \frac{3 + 0,12x}{x} \] Ta cần tính giới hạn: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 0,12x}{x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x} + 0,12 \right) \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{3}{x}$ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x} + 0,12 \right) = 0 + 0,12 = 0,12 \] Vậy: \[ \lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = 0,12 \] Đáp số: 0,12 triệu đồng/m³ Câu 2. Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một phân số lũy thừa của 3. Dãy số này là một dãy số hình học vô hạn với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = \frac{1}{3} \). Công thức tính tổng của một dãy số hình học vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{3} \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{1}{\frac{2}{3}} \] \[ S = \frac{3}{2} \] Vậy tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \) là: \[ S = \frac{3}{2} \] Câu 3. Để tính Mốt (M) của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định khoảng thời gian có tần số xuất hiện nhiều nhất trong bảng số liệu. Bước 1: Xác định tần số của mỗi khoảng thời gian: - Khoảng [0; 4): 2 học sinh - Khoảng [4; 8): 4 học sinh - Khoảng [8; 12): 7 học sinh - Khoảng [12; 16): 4 học sinh - Khoảng [16; 20): 3 học sinh Bước 2: Tìm khoảng thời gian có tần số lớn nhất: - Tần số lớn nhất là 7, thuộc khoảng [8; 12). Bước 3: Xác định mốt (M): - Mốt (M) là giá trị trung tâm của khoảng thời gian có tần số lớn nhất. Do đó, mốt (M) của mẫu số liệu là khoảng thời gian [8; 12). Đáp số: M = [8; 12). Câu 4. Để tính trung vị của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh trong nhóm là: \[ 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì tổng số học sinh là 20 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 10 và thứ 11. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Nhóm [0;4) có 2 học sinh. - Nhóm [4;8) có 4 học sinh, tổng là 2 + 4 = 6 học sinh. - Nhóm [8;12) có 7 học sinh, tổng là 6 + 7 = 13 học sinh. - Nhóm [12;16) có 4 học sinh, tổng là 13 + 4 = 17 học sinh. - Nhóm [16;20) có 3 học sinh, tổng là 17 + 3 = 20 học sinh. Do đó, trung vị nằm trong khoảng [8;12). 4. Áp dụng công thức tính trung vị: Công thức tính trung vị trong khoảng là: \[ M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l}}{f_{M}} \right) \times d \] Trong đó: - \( l \) là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị (ở đây là 8). - \( n \) là tổng số lượng học sinh (ở đây là 20). - \( F_{l} \) là tổng số lượng học sinh trước khoảng chứa trung vị (ở đây là 6). - \( f_{M} \) là số lượng học sinh trong khoảng chứa trung vị (ở đây là 7). - \( d \) là khoảng cách của khoảng chứa trung vị (ở đây là 4). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 8 + \left( \frac{\frac{20}{2} - 6}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \left( \frac{10 - 6}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \left( \frac{4}{7} \right) \times 4 \] \[ M = 8 + \frac{16}{7} \] \[ M = 8 + 2,2857 \] \[ M \approx 10,3 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu trên là 10,3 phút. Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của các đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Vì ABCD là hình bình hành, nên O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. Bây giờ, ta xét các trọng tâm I và J của các tam giác SAD và SBC: - Trọng tâm I của tam giác SAD nằm trên đường thẳng nối đỉnh S với trung điểm của cạnh AD (gọi là M). - Trọng tâm J của tam giác SBC nằm trên đường thẳng nối đỉnh S với trung điểm của cạnh BC (gọi là N). Do đó, ta có: - I nằm trên đoạn SM và chia đoạn SM thành tỉ số 2:1 từ S. - J nằm trên đoạn SN và chia đoạn SN thành tỉ số 2:1 từ S. Ta cần tính khoảng cách JI. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và trung điểm trong tam giác. Trong tam giác SAD, trọng tâm I chia đoạn SM thành tỉ số 2:1 từ S. Tương tự, trong tam giác SBC, trọng tâm J chia đoạn SN thành tỉ số 2:1 từ S. Vì M và N là trung điểm của AD và BC, và ABCD là hình bình hành, nên MN song song với AB và CD, và MN = $\frac{1}{2}AB$ = $\frac{1}{2} \times 12$ = 6. Do đó, đoạn thẳng JI sẽ song song với MN và có độ dài bằng $\frac{2}{3}$ của MN (vì I và J là trọng tâm của các tam giác tương ứng). Vậy: \[ JI = \frac{2}{3} \times MN = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \] Đáp số: JI = 4. Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lăng trụ lục giác đều, các cạnh bên như \( AA', BB', CC', DD', EE', FF' \) đều bằng nhau và song song với nhau. Biết rằng \( AA' = 70 \, \text{cm} \). Ta cũng biết rằng \( A'A_1 = 6 \times AA_1 \). Điều này có nghĩa là \( A'A_1 \) dài gấp 6 lần \( AA_1 \). Do đó, ta có thể viết: \[ A'A_1 + AA_1 = AA' \] \[ 6 \times AA_1 + AA_1 = 70 \, \text{cm} \] \[ 7 \times AA_1 = 70 \, \text{cm} \] \[ AA_1 = \frac{70}{7} = 10 \, \text{cm} \] Bây giờ, ta cần tìm \( CC_1 \). Vì \( CC_1 \) cũng là một đoạn thẳng trên cạnh bên của lăng trụ, và do tính chất đồng nhất của lăng trụ đều, ta có: \[ CC_1 = AA_1 = 10 \, \text{cm} \] Vậy, \( CC_1 = 10 \, \text{cm} \). Đáp số: \( CC_1 = 10 \, \text{cm} \).