Tìm m để hàm số sau có tập xác định là R: $y=\sqrt{\sin x+2m\cos x-3}$.

Question

Accepted Answer

Để hàm số $ y = \sqrt{\sin x + 2m \cos x - 3} $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $, biểu thức dưới dấu căn phải không âm cho mọi $ x $. Do đó, ta cần:
$$ \sin x + 2m \cos x - 3 \geq 0 \quad \text{cho mọi } x $$

Ta sẽ biến đổi biểu thức $ \sin x + 2m \cos x $ thành dạng $ A \sin(x + \phi) $.

Bước 1: Tìm $ A $ và $ \phi $:
$$ A = \sqrt{1^2 + (2m)^2} = \sqrt{1 + 4m^2} $$
$$ \sin x + 2m \cos x = \sqrt{1 + 4m^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 4m^2}} \sin x + \frac{2m}{\sqrt{1 + 4m^2}} \cos x \right) $$

Bước 2: Gọi $ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + 4m^2}} $ và $ \sin \phi = \frac{2m}{\sqrt{1 + 4m^2}} $, ta có:
$$ \sin x + 2m \cos x = \sqrt{1 + 4m^2} \sin(x + \phi) $$

Bước 3: Thay vào điều kiện ban đầu:
$$ \sqrt{1 + 4m^2} \sin(x + \phi) - 3 \geq 0 $$
$$ \sqrt{1 + 4m^2} \sin(x + \phi) \geq 3 $$

Bước 4: Vì $ \sin(x + \phi) $ có giá trị từ $-1$ đến $1$, ta cần:
$$ \sqrt{1 + 4m^2} \geq 3 $$

Bước 5: Giải bất phương trình:
$$ 1 + 4m^2 \geq 9 $$
$$ 4m^2 \geq 8 $$
$$ m^2 \geq 2 $$
$$ |m| \geq \sqrt{2} $$

Vậy, điều kiện để hàm số có tập xác định là $ \mathbb{R} $ là:
$$ m \leq -\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m \geq \sqrt{2} $$

Đáp số: $ m \leq -\sqrt{2} $ hoặc $ m \geq \sqrt{2} $.