Giải phương trình: $\sin4x+cos3x-cosx=0$.

Để giải phương trình $\sin 4x + \cos 3x - \cos x = 0$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho $\cos 3x - \cos x$: \[ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \left( \frac{3x + x}{2} \right) \sin \left( \frac{3x - x}{2} \right) = -2 \sin 2x \sin x \] Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu: \[ \sin 4x - 2 \sin 2x \sin x = 0 \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi cho $\sin 4x$: \[ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2 \sin 2x \cos 2x - 2 \sin 2x \sin x = 0 \] Bước 4: Rút gọn phương trình: \[ 2 \sin 2x (\cos 2x - \sin x) = 0 \] Bước 5: Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $\sin 2x = 0$ \[ 2x = k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Trường hợp 2: $\cos 2x - \sin x = 0$ Áp dụng công thức $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$: \[ 1 - 2 \sin^2 x - \sin x = 0 \] Đặt $t = \sin x$, ta có phương trình bậc hai: \[ 1 - 2t^2 - t = 0 \quad \Rightarrow \quad 2t^2 + t - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1 \] - Nếu $t = \frac{1}{2}$, thì $\sin x = \frac{1}{2}$: \[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Nếu $t = -1$, thì $\sin x = -1$: \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Tóm lại, các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{k\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]