sôsisosoososos

Câu 1: Để tìm $\lim_{x\rightarrow -\infty}[2f(x)+3g(x)]$, ta sẽ sử dụng các giới hạn đã cho và các tính chất của giới hạn. Bước 1: Xác định giới hạn của mỗi hàm số khi $x$ tiến đến $-\infty$. - Ta biết rằng $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 5$. Tuy nhiên, chúng ta cần tìm giới hạn khi $x$ tiến đến $-\infty$. Nếu không có thêm thông tin về hành vi của $f(x)$ khi $x$ tiến đến $-\infty$, ta giả sử rằng giới hạn này vẫn giữ nguyên. Do đó, $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 5$. - Tương tự, ta biết rằng $\lim_{x\rightarrow 0} g(x) = -3$. Giả sử rằng giới hạn này cũng không thay đổi khi $x$ tiến đến $-\infty$. Do đó, $\lim_{x\rightarrow -\infty} g(x) = -3$. Bước 2: Áp dụng tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của biểu thức $2f(x) + 3g(x)$. - Theo tính chất của giới hạn, ta có: \[ \lim_{x\rightarrow -\infty} [2f(x) + 3g(x)] = 2 \cdot \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) + 3 \cdot \lim_{x\rightarrow -\infty} g(x) \] - Thay các giới hạn đã biết vào: \[ \lim_{x\rightarrow -\infty} [2f(x) + 3g(x)] = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) \] - Thực hiện phép tính: \[ 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 10 - 9 = 1 \] Vậy, $\lim_{x\rightarrow -\infty} [2f(x) + 3g(x)] = 1$. Đáp số: $\lim_{x\rightarrow -\infty} [2f(x) + 3g(x)] = 1$. Câu 2: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(1) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 tồn tại và bằng \( f(1) \). Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1} \] Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 6) = 1 - 6 = -5 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = -5 \] Tiếp theo, ta cần \( f(1) \) cũng bằng -5 để hàm số liên tục tại \( x = 1 \). Theo định nghĩa của hàm số: \[ f(1) = 2m + 1 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \): \[ 2m + 1 = -5 \] Giải phương trình này: \[ 2m + 1 = -5 \] \[ 2m = -5 - 1 \] \[ 2m = -6 \] \[ m = -3 \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \) là: \[ \boxed{-3} \] Câu 3: Đầu tiên, ta tính chu vi của bánh xe đạp: \[ C = 2 \pi r = 2 \times 3,14 \times 34 = 213,52 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta tính quãng đường bánh xe đạp đi được trong 10 vòng: \[ D_{10} = 10 \times 213,52 = 2135,2 \text{ cm} \] Ta chuyển đổi thời gian từ phút sang giây để dễ dàng tính toán: \[ 11 \text{ phút} = 11 \times 60 = 660 \text{ giây} \] Số vòng bánh xe đạp quay được trong 660 giây: \[ \text{Số vòng} = \frac{660}{4} \times 10 = 1650 \text{ vòng} \] Quãng đường bánh xe đạp đi được trong 1650 vòng: \[ D_{1650} = 1650 \times 213,52 = 352956 \text{ cm} \] Cuối cùng, ta chuyển đổi quãng đường từ cm sang m và làm tròn đến hàng đơn vị: \[ D_{1650} = \frac{352956}{100} = 3529,56 \text{ m} \approx 3530 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 11 phút là 3530 m. Câu 4: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N trên các cạnh SB và SD của hình chóp S.ABCD. - Điểm M nằm trên cạnh SB sao cho \( MB = 3MS \). Điều này có nghĩa là M chia SB thành tỷ lệ \( \frac{MS}{SB} = \frac{1}{4} \). - Điểm N nằm trên cạnh SD sao cho \( \frac{SN}{SD} = \frac{3}{4} \). Điều này có nghĩa là N chia SD thành tỷ lệ \( \frac{ND}{SD} = \frac{1}{4} \). Tiếp theo, ta xác định hình chiếu của M và N lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu SO. Ta gọi hình chiếu của M là I và hình chiếu của N là J. Do M và N nằm trên các cạnh SB và SD tương ứng, và hình chiếu của chúng theo phương SO sẽ nằm trên các đường thẳng BA và DA tương ứng (vì SO là đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD). Ta có: - Hình chiếu của M là I, nằm trên đường thẳng BA. - Hình chiếu của N là J, nằm trên đường thẳng DA. Bây giờ, ta cần tính tỉ số \( \frac{OJ}{OI} \). Vì M chia SB thành tỷ lệ \( \frac{1}{4} \), nên I sẽ chia BA thành tỷ lệ \( \frac{1}{4} \). Do đó, \( BI = \frac{1}{4}BA \). Vì N chia SD thành tỷ lệ \( \frac{3}{4} \), nên J sẽ chia DA thành tỷ lệ \( \frac{3}{4} \). Do đó, \( DJ = \frac{3}{4}DA \). Vì O là tâm của hình bình hành ABCD, nên \( OI = \frac{1}{2}BI = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}BA = \frac{1}{8}BA \). Tương tự, \( OJ = \frac{1}{2}DJ = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}DA = \frac{3}{8}DA \). Vì \( BA = DA \) (do ABCD là hình bình hành), ta có: \[ \frac{OJ}{OI} = \frac{\frac{3}{8}DA}{\frac{1}{8}BA} = \frac{\frac{3}{8}DA}{\frac{1}{8}DA} = 3 \] Vậy tỉ số \( \frac{OJ}{OI} \) là 3. Đáp số: \( \frac{OJ}{OI} = 3 \). Câu 5: Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó G nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến trung điểm của AB. - G' là trọng tâm của tam giác SCD, do đó G' nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến trung điểm của CD. Mặt phẳng (P) chứa GG' và song song với đáy (ABCD). Do đó, các đường thẳng cắt qua các cạnh SA, SB, SC, SD sẽ tạo thành các đoạn thẳng song song với đáy tương ứng. Ta gọi các điểm E, F, H, K lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các cạnh SA, SB, SC, SD. Vì (P) song song với (ABCD), nên các đoạn thẳng EF, FH, HK, KE sẽ song song với các đoạn thẳng tương ứng trong đáy ABCD. Do đó, tứ giác EFHK sẽ có các cạnh song song với các cạnh tương ứng của đáy ABCD. Ta cần tính diện tích của tứ giác EFHK. Bước 1: Xác định tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong đáy và các đoạn thẳng tương ứng trong mặt phẳng (P). Vì (P) song song với (ABCD), nên các đoạn thẳng trong (P) sẽ có cùng tỉ lệ với các đoạn thẳng tương ứng trong đáy ABCD. Ta gọi tỉ lệ này là k. Bước 2: Tính diện tích của đáy ABCD. Diện tích của đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times CD = \frac{1}{2} \times (11 + 7) \times 5 = \frac{1}{2} \times 18 \times 5 = 45 \] Bước 3: Tính diện tích của tứ giác EFHK. Vì (P) song song với (ABCD) và các đoạn thẳng trong (P) có cùng tỉ lệ k với các đoạn thẳng tương ứng trong đáy ABCD, nên diện tích của tứ giác EFHK sẽ là: \[ S_{EFHK} = k^2 \times S_{ABCD} \] Vì G và G' là trọng tâm của các tam giác SAB và SCD, nên k = $\frac{2}{3}$. Do đó: \[ S_{EFHK} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times 45 = \frac{4}{9} \times 45 = 20 \] Vậy diện tích của tứ giác EFHK là: \[ \boxed{20} \] Câu 6: Diện tích hình vuông ABCD là: \[ S_1 = 4 \times 4 = 16 \] Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nửa cạnh của hình vuông ABCD, tức là 2. Diện tích của hình vuông thứ hai là: \[ S_2 = 2 \times 2 = 4 \] Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nửa cạnh của hình vuông thứ hai, tức là 1. Diện tích của hình vuông thứ ba là: \[ S_3 = 1 \times 1 = 1 \] Nhìn vào quy luật, diện tích của mỗi hình vuông tiếp theo sẽ giảm đi một nửa so với diện tích của hình vuông trước đó. Do đó, ta có dãy số diện tích hình vuông là: \[ 16, 4, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \ldots \] Đây là dãy số lẻ vô hạn với tỷ số công bội \( r = \frac{1}{4} \). Tổng của dãy số này là: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{S_1}{1 - r} = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16}{\frac{3}{4}} = \frac{16 \times 4}{3} = \frac{64}{3} \approx 21.33 \] Vậy tổng diện tích của dãy các hình vuông đó là khoảng 21.33 (làm tròn đến hàng phần trăm).