Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' , A'C'∩ B'D' tại O' . I,J là trung điểm AB, B'C'. Chứng minh IJ ║ AO'

Mai Lan 1. Phân tích và đặt tọa độ:

Giả sử hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'ABCD.A′B′C′D′ có cạnh là aaa, ta đặt hệ trục tọa độ như sau:

• A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0), B(a,0,0)B(a, 0, 0)B(a,0,0), C(a,a,0)C(a, a, 0)C(a,a,0), D(0,a,0)D(0, a, 0)D(0,a,0),
• A′(0,0,a)A'(0, 0, a)A′(0,0,a), B′(a,0,a)B'(a, 0, a)B′(a,0,a), C′(a,a,a)C'(a, a, a)C′(a,a,a), D′(0,a,a)D'(0, a, a)D′(0,a,a).

Trung điểm III và JJJ có tọa độ:

• III là trung điểm của ABABAB: I(0+a2,0+02,0+02)=(a2,0,0).I\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right).I(20+a​,20+0​,20+0​)=(2a​,0,0).
• JJJ là trung điểm của B′C′B'C'B′C′: J(a+a2,0+a2,a+a2)=(a,a2,a).J\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(a, \frac{a}{2}, a\right).J(2a+a​,20+a​,2a+a​)=(a,2a​,a).

Giao điểm O′O'O′ của A′C′A'C'A′C′ và B′D′B'D'B′D′:

• A′C′A'C'A′C′: đường chéo của mặt A′C′D′A′A'C'D'A'A′C′D′A′, có phương trình tham số: r⃗A′C′=(0,0,a)+t(a,a,−a), t∈R.\vec{r}_{A'C'} = (0, 0, a) + t(a, a, -a), \, t \in \mathbb{R}.r
• A′C′​=(0,0,a)+t(a,a,−a),t∈R.
• B′D′B'D'B′D′: đường chéo của mặt B′D′A′B′B'D'A'B'B′D′A′B′, có phương trình tham số: r⃗B′D′=(a,0,a)+s(−a,a,−a), s∈R.\vec{r}_{B'D'} = (a, 0, a) + s(-a, a, -a), \, s \in \mathbb{R}.r
• B′D′​=(a,0,a)+s(−a,a,−a),s∈R.

Giao điểm O′O'O′ nằm trên cả hai đường:

(0+ta,0+ta,a−ta)=(a−sa,s⋅a,a−sa).(0 + ta, 0 + ta, a - ta) = (a - sa, s \cdot a, a - sa).(0+ta,0+ta,a−ta)=(a−sa,s⋅a,a−sa).

So sánh từng tọa độ, ta có:

ta=a−sa⇒t+s=1,ta=sa⇒t=s,a−ta=a−sa⇒t=s.\begin{aligned} ta & = a - sa \quad \Rightarrow \quad t + s = 1, \\ ta & = sa \quad \Rightarrow \quad t = s, \\ a - ta & = a - sa \quad \Rightarrow \quad t = s. \end{aligned}tataa−ta​=a−sa⇒t+s=1,=sa⇒t=s,=a−sa⇒t=s.​

Từ t=st = st=s và t+s=1t + s = 1t+s=1, suy ra t=s=12t = s = \frac{1}{2}t=s=21​. Thay vào phương trình, tọa độ của O′O'O′ là:

O′(a2,a2,a2).O'\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right).O′(2a​,2a​,2a​).2. Vector chỉ phương:

• Vector IJ→\overrightarrow{IJ}IJ
• :

IJ→=(a−a2,a2−0,a−0)=(a2,a2,a).\overrightarrow{IJ} = \left(a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0, a - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right).IJ

=(a−2a​,2a​−0,a−0)=(2a​,2a​,a).

• Vector AO′→\overrightarrow{AO'}AO′
• :

AO′→=(a2−0,a2−0,a2−0)=(a2,a2,a2).\overrightarrow{AO'} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right).AO′

=(2a​−0,2a​−0,2a​−0)=(2a​,2a​,2a​).3. Kiểm tra song song:

Hai vector IJ→\overrightarrow{IJ}IJ

và AO′→\overrightarrow{AO'}AO′

có quan hệ:

IJ→=2⋅AO′→.\overrightarrow{IJ} = 2 \cdot \overrightarrow{AO'}.IJ

=2⋅AO′

.

Do đó, IJ→∥AO′→\overrightarrow{IJ} \parallel \overrightarrow{AO'}IJ

∥AO′

, suy ra IJ∥AO′IJ \parallel AO'IJ∥AO′.

Kết luận:

IJ∥AO′.IJ \parallel AO'.IJ∥AO′.