Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc với AC (E thuộc AB), MF vuông góc với AB (F thuộc AC). a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) BF cắt AM và EM lần lượt...

a) Ta có: - Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC nên AM = BM = CM (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông). - ME vuông góc với AC và MF vuông góc với AB, do đó góc AEM = góc AFM = 90°. - Vì AM = BM = CM nên tam giác AME và tam giác AMF đều là tam giác vuông cân tại A. - Do đó, góc EAM = góc FAM = 45°. - Kết hợp với góc AEM = góc AFM = 90°, ta có góc AEM + góc EAM = 90° + 45° = 135°. - Tương tự, góc AFM + góc FAM = 90° + 45° = 135°. - Vậy góc AEM + góc EAM = góc AFM + góc FAM = 135°, tức là góc AEM = góc AFM = 90°. - Do đó, tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông). b) Ta có: - Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Do đó, AM = BM = CM và góc BAM = góc CAM = 45° (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông). - Vì góc BAM = góc CAM = 45°, nên tam giác ABM và tam giác ACM đều là tam giác vuông cân tại A. - Do đó, FA = FC (tính chất tam giác vuông cân). - Vì FA = FC và góc FAK = góc FCK = 45°, nên tam giác FAK và tam giác FCK đều là tam giác vuông cân tại F. - Do đó, FA = FK và AK = CK. - Vì AK = CK và góc AKI = góc CKI = 45°, nên tam giác AKI và tam giác CKI đều là tam giác vuông cân tại K. - Do đó, AK = 3KI (tính chất tam giác vuông cân). Đáp số: FA = FC và KA = 3KI.