Giúp mình với!

Bài 1. Để tìm độ dài đoạn thẳng \(CD\) trong hình vẽ, ta sẽ áp dụng Định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(ACD\) và tam giác vuông \(ABC\). Bước 1: Tìm độ dài đoạn thẳng \(AC\) trong tam giác vuông \(ABC\): - Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), do đó ta có: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ AC^2 = 9^2 + 5^2 \] \[ AC^2 = 81 + 25 \] \[ AC^2 = 106 \] \[ AC = \sqrt{106} \] Bước 2: Tìm độ dài đoạn thẳng \(CD\) trong tam giác vuông \(ACD\): - Tam giác \(ACD\) là tam giác vuông tại \(D\), do đó ta có: \[ CD^2 = AC^2 - AD^2 \] \[ CD^2 = 106 - 4^2 \] \[ CD^2 = 106 - 16 \] \[ CD^2 = 90 \] \[ CD = \sqrt{90} \] \[ CD = 3\sqrt{10} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \(CD\) là \(3\sqrt{10}\) cm. Bài 2. Để tìm độ dài \(CD\) trong hình vẽ, ta sẽ áp dụng Định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(ACD\) và \(ABC\). Bước 1: Tìm độ dài \(AC\) trong tam giác vuông \(ABC\): - Theo Định lý Pythagoras: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) - Thay các giá trị đã biết: \(AC^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149\) - Vậy \(AC = \sqrt{149}\) Bước 2: Tìm độ dài \(CD\) trong tam giác vuông \(ACD\): - Theo Định lý Pythagoras: \(CD^2 = AD^2 - AC^2\) - Thay các giá trị đã biết: \(CD^2 = 8^2 - (\sqrt{149})^2 = 64 - 149 = -85\) Như vậy, ta thấy rằng \(CD^2 = -85\) là một giá trị âm, điều này không thể xảy ra trong thực tế vì độ dài không thể là số âm hoặc số phức. Do đó, có thể có lỗi trong dữ liệu đầu vào hoặc hình vẽ không chính xác. Kết luận: Với dữ liệu đã cho, không thể tính được độ dài \(CD\) vì nó dẫn đến một kết quả không hợp lý. Bài 3. Để chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh PM song song với BC: - Theo đề bài, PM song song với BC. 2. Chứng minh góc MPA và góc MQC là góc vuông: - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C, nên góc ACB = 90°. - Do PM song song với BC, nên góc MPA = góc ACB = 90° (góc đồng vị). - Tương tự, do PM song song với BC, nên góc MQC = góc ACB = 90° (góc đồng vị). 3. Chứng minh PQ song song với MC: - Ta có AP = CQ (theo đề bài). - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C, nên AC = BC. - Do đó, PC = QC (vì AC - AP = BC - CQ). - Kết hợp với PM song song với BC, ta có tứ giác PCMQ là hình bình hành (do hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Chứng minh tứ giác PCMQ là hình chữ nhật: - Ta đã chứng minh được góc MPA và góc MQC đều là góc vuông. - Trong hình bình hành, nếu một góc là góc vuông thì tất cả các góc đều là góc vuông. - Do đó, tứ giác PCMQ là hình chữ nhật. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác PCMQ là hình chữ nhật. Bài 4. a) Ta có tia Ax vuông góc với AC nên $\widehat{MAC} = 90^\circ$. Tia By song song với AC nên $\widehat{MBA} = 90^\circ$. Do đó, tứ giác AMBO là hình chữ nhật (vì có 2 góc vuông kề nhau). b) Để chứng minh tam giác PIQ cân, ta cần chứng minh hai cạnh PI và IQ bằng nhau. - Vì P là trung điểm của AB nên PA = PB. - Xét tam giác APB, ta có: - PA = PB (P là trung điểm của AB) - $\widehat{APB} = 90^\circ$ (vì AMBO là hình chữ nhật) - Do đó, tam giác APB là tam giác vuông cân tại P. - Xét tam giác PIQ: - Ta thấy rằng Q nằm trên AC và M nằm trên tia Ax vuông góc với AC. - Vì MP cắt AC tại Q, ta có $\widehat{PIQ} = \widehat{IPQ}$ (do tính chất của tam giác vuông cân). Do đó, tam giác PIQ là tam giác cân tại đỉnh I. Đáp số: a) Tứ giác AMBO là hình chữ nhật. b) Tam giác PIQ là tam giác cân tại đỉnh I.