Tại sao lại bằng như vậy

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{4} + \frac{7 - x}{6} \) trên đoạn \([0, 7]\). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{4} + \frac{7 - x}{6} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^2 + 25}}{4}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{7 - x}{6}\right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 25}) + \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{dx}(7 - x) \] \[ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{6} \] Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{6} = 0 \] \[ \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{1}{6} \] \[ 6x = 4\sqrt{x^2 + 25} \] \[ 3x = 2\sqrt{x^2 + 25} \] \[ 9x^2 = 4(x^2 + 25) \] \[ 9x^2 = 4x^2 + 100 \] \[ 5x^2 = 100 \] \[ x^2 = 20 \] \[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị ở biên và điểm cực trị. - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{\sqrt{0^2 + 25}}{4} + \frac{7 - 0}{6} = \frac{5}{4} + \frac{7}{6} = \frac{15}{12} + \frac{14}{12} = \frac{29}{12} \] - Tại \( x = 7 \): \[ f(7) = \frac{\sqrt{7^2 + 25}}{4} + \frac{7 - 7}{6} = \frac{\sqrt{49 + 25}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{74}}{4} \] - Tại \( x = 2\sqrt{5} \): \[ f(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 25}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{20 + 25}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{45}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6} = \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6} \] \[ f(2\sqrt{5}) = \frac{9\sqrt{5}}{12} + \frac{14 - 4\sqrt{5}}{12} = \frac{9\sqrt{5} + 14 - 4\sqrt{5}}{12} = \frac{5\sqrt{5} + 14}{12} \] So sánh các giá trị: \[ f(0) = \frac{29}{12} \approx 2.4167 \] \[ f(7) = \frac{\sqrt{74}}{4} \approx 2.118 \] \[ f(2\sqrt{5}) = \frac{5\sqrt{5} + 14}{12} \approx 2.4167 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, 7]\) là \( \frac{29}{12} \), đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 2\sqrt{5} \).