hãy nêu một số dạng toán và phương pháp giải trong chương vectow và hệ trục toạ độ trong không gian lấy ví dụ minh hoạ

Question

Accepted Answer

Dạng Toán 1: Tính Khoảng Cách Giữa Hai Điểm

Phương Pháp Giải:
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm $ A(x_1, y_1, z_1) $ và $ B(x_2, y_2, z_2) $:
$$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$

Ví Dụ Minh Họa:
Tính khoảng cách giữa hai điểm $ A(1, 2, 3) $ và $ B(4, 5, 6) $.

Giải:
Áp dụng công thức:
$$ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$

Dạng Toán 2: Tính Độ Dài Của Vectơ

Phương Pháp Giải:
- Sử dụng công thức độ dài của vectơ $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $:
$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

Ví Dụ Minh Họa:
Tính độ dài của vectơ $ \vec{a} = (2, 3, 4) $.

Giải:
Áp dụng công thức:
$$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} $$

Dạng Toán 3: Tính Góc Giữa Hai Vectơ

Phương Pháp Giải:
- Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $ và $ \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) $:
$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $$
Trong đó, $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $.

Ví Dụ Minh Họa:
Tính góc giữa hai vectơ $ \vec{a} = (1, 2, 3) $ và $ \vec{b} = (4, 5, 6) $.

Giải:
Tính tích vô hướng:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 $$

Tính độ dài của các vectơ:
$$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $$
$$ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} $$

Áp dụng công thức:
$$ \cos(\theta) = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} $$

Dạng Toán 4: Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng

Phương Pháp Giải:
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $:
$$ d(M, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Ví Dụ Minh Họa:
Tính khoảng cách từ điểm $ M(1, 2, 3) $ đến mặt phẳng $ 2x + 3y - z + 4 = 0 $.

Giải:
Áp dụng công thức:
$$ d(M, P) = \frac{|2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 6 - 3 + 4|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{14}} $$

Dạng Toán 5: Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường thẳng

Phương Pháp Giải:
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ trong không gian:
$$ d(d_1, d_2) = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|} $$
Trong đó, $ \vec{AB} $ là vectơ nối một điểm trên $ d_1 $ với một điểm trên $ d_2 $, $ \vec{u_1} $ và $ \vec{u_2} $ là vectơ chỉ phương của $ d_1 $ và $ d_2 $ tương ứng.

Ví Dụ Minh Họa:
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ với phương trình:
$$ d_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} $$
$$ d_2: \frac{x - 4}{5} = \frac{y - 5}{6} = \frac{z - 6}{7} $$

Giải:
Chọn điểm $ A(1, 2, 3) $ thuộc $ d_1 $ và điểm $ B(4, 5, 6) $ thuộc $ d_2 $. Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \vec{u_1} = (2, 3, 4) $ và của $ d_2 $ là $ \vec{u_2} = (5, 6, 7) $.

Tính vectơ $ \vec{AB} $:
$$ \vec{AB} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) $$

Tính tích vectơ $ \vec{u_1} \times \vec{u_2} $:
$$ \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 3 & 4 \
5 & 6 & 7
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 7 - 4 \cdot 6) - \mathbf{j}(2 \cdot 7 - 4 \cdot 5) + \mathbf{k}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) $$
$$ = \mathbf{i}(21 - 24) - \mathbf{j}(14 - 20) + \mathbf{k}(12 - 15) $$
$$ = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k} $$
$$ = (-3, 6, -3) $$

Tính độ dài của $ \vec{u_1} \times \vec{u_2} $:
$$ |\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $$

Tính tích vô hướng $ \vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) $:
$$ \vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (3, 3, 3) \cdot (-3, 6, -3) = 3 \cdot (-3) + 3 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -9 + 18 - 9 = 0 $$

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
$$ d(d_1, d_2) = \frac{|0|}{3\sqrt{6}} = 0 $$

Kết luận:
Các dạng toán và phương pháp giải trong chương vectơ và hệ tọa độ trong không gian đã được nêu chi tiết và minh họa qua các ví dụ cụ thể.