Giúp mình với! Câu 4: (3điểm),Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là một,điểm tùy ý trên cung CB (E khác C; B). Gọi F là giao điểm của AE và CD.,1) Chứng minh tứ giác OBEF nội tiếp.,2) Gọi K là giao điểm của BC và EF, H là giao điểm của AB và ED. Cm $\Delta AEH$ đồng,dạng $\Delta ABK$,3) Chứng minh $HK//CD$ và HK là tia phân giác của $\widehat{CHE}.$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
1) Ta có $\widehat{BEO}=\widehat{BCO}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow$ Tứ giác OCEB nội tiếp (tứ giác có 1 cặp góc đối bằng 90°)
$\Rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{OCB}=90^\circ$ (cùng chắn cung OB)
$\Rightarrow \widehat{OEF}=90^\circ$ (góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{OEF}+\widehat{OBF}=180^\circ$ (hai góc kề bù)
$\Rightarrow$ Tứ giác OBEF nội tiếp (tứ giác có tổng 1 cặp góc đối bằng 180°)
2) Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{ABK}$ (cùng bằng $\widehat{OBF}$)
$\widehat{EAH}=\widehat{BAK}$ (cùng bằng $\widehat{OAC}$)
$\Rightarrow \Delta AEH$ đồng dạng $\Delta ABK$ (g-g)
3) Từ $\Delta AEH$ đồng dạng $\Delta ABK$ ta có:
$\frac{AH}{AK}=\frac{EH}{BK}$
Mặt khác ta có $\widehat{AHE}=\widehat{BKH}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \Delta AHE$ đồng dạng $\Delta BKH$ (g-g)
$\Rightarrow \widehat{AHK}=\widehat{BKH}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow HK//CD$ (hai đường thẳng song song khi có cặp góc so le trong bằng nhau)
$\Rightarrow \widehat{AHK}=\widehat{BKH}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow HK$ là tia phân giác của $\widehat{CHE}$ (tia phân giác của 1 góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với mỗi cạnh của góc những góc bằng nhau)