giup em voii

Câu13: a) Giải phương trình: $7x^2 - 6x - 13 = 0$ Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \(a = 7\), \(b = -6\), \(c = -13\). Tính delta (\(\Delta\)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-13) = 36 + 364 = 400 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: \[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{400}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 20}{14} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7} \] \[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{400}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 20}{14} = \frac{-14}{14} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{13}{7}, \quad x_2 = -1 \] b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 3x + y = 7 \end{array}\right. \] Ta sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Cộng hai phương trình lại: \[ (x - y) + (3x + y) = 1 + 7 \] \[ x - y + 3x + y = 8 \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \] Thay \(x = 2\) vào phương trình đầu tiên: \[ 2 - y = 1 \] \[ y = 2 - 1 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = 2, \quad y = 1 \] Câu 14. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 4 \). Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{x}{4 - x} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \] Tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} - \frac{x}{4 - x} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \] Chú ý rằng \( \frac{x}{4 - x} = -\frac{x}{x - 4} \): \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2\sqrt{x} + x}{x - 4} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \] Chia hai phân thức: \[ A = \frac{2\sqrt{x} + x}{x - 4} \times \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(2\sqrt{x} + x)(\sqrt{x} - 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 1)} \] Phân tích \( x - 4 \) thành \( (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) \): \[ A = \frac{(2\sqrt{x} + x)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x} + x}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} \] Phân tích \( 2\sqrt{x} + x \) thành \( \sqrt{x}(2 + \sqrt{x}) \): \[ A = \frac{\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 9 \): \[ A = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4} \] Đáp số: \( A = \frac{3}{4} \) khi \( x = 9 \). Câu 15: Để phương trình bậc hai \(x^2 - 2(m-3)x + m^2 - 8m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện: \[ \Delta = [2(m-3)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 8m + 5) > 0 \] \[ \Delta = 4(m^2 - 6m + 9) - 4(m^2 - 8m + 5) > 0 \] \[ \Delta = 4m^2 - 24m + 36 - 4m^2 + 32m - 20 > 0 \] \[ \Delta = 8m + 16 > 0 \] \[ m > -2 \] Gọi hai nghiệm của phương trình là \(x_1\) và \(x_2\). Theo bài toán, ta có: \[ x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_1x_2 = x_1 - x_2 \] Áp dụng hệ thức Vi-et: \[ x_1 + x_2 = 2(m-3) \] \[ x_1 x_2 = m^2 - 8m + 5 \] Ta biến đổi phương trình đã cho: \[ x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_1x_2 = x_1 - x_2 \] \[ x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_1x_2 - x_1 + x_2 = 0 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ x_1(x_1 - 3x_2 - 1) + x_2(2x_2 + 1) = 0 \] Để phương trình này đúng, ta xét hai trường hợp: 1. \(x_1 = 0\) 2. \(x_2 = 0\) Trường hợp 1: \(x_1 = 0\) Thay vào hệ thức Vi-et: \[ 0 + x_2 = 2(m-3) \Rightarrow x_2 = 2(m-3) \] \[ 0 \cdot x_2 = m^2 - 8m + 5 \Rightarrow m^2 - 8m + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 8m + 5 = 0 \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 4 \pm \sqrt{11} \] Kiểm tra điều kiện \(m > -2\): \[ 4 + \sqrt{11} > -2 \] \[ 4 - \sqrt{11} > -2 \] Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện. Trường hợp 2: \(x_2 = 0\) Thay vào hệ thức Vi-et: \[ x_1 + 0 = 2(m-3) \Rightarrow x_1 = 2(m-3) \] \[ x_1 \cdot 0 = m^2 - 8m + 5 \Rightarrow m^2 - 8m + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 8m + 5 = 0 \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 4 \pm \sqrt{11} \] Kiểm tra điều kiện \(m > -2\): \[ 4 + \sqrt{11} > -2 \] \[ 4 - \sqrt{11} > -2 \] Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện. Vậy, giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là: \[ m = 4 + \sqrt{11} \text{ hoặc } m = 4 - \sqrt{11} \] Câu 16: a) Tính thể tích của thùng Diện tích đáy của thùng là: \[ S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{30}{2} \right)^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \text{ cm}^2 \] Thể tích của thùng là: \[ V = S \times h = 225\pi \times 35 = 7875\pi \text{ cm}^3 \] b) Đổi thể tích của thùng sang mét khối: \[ 7875\pi \text{ cm}^3 = 7875\pi \times 10^{-6} \text{ m}^3 \approx 0.0247 \text{ m}^3 \] Dung tích của bể chứa là 1 m³. Số thùng cần để đổ đầy bể chứa: \[ \frac{1 \text{ m}^3}{0.0247 \text{ m}^3} \approx 40.48 \] Vì số thùng phải là số nguyên, nên ta cần ít nhất 41 thùng để đổ đầy bể chứa. Đáp số: a) Thể tích của thùng: \( 7875\pi \text{ cm}^3 \) b) Số thùng cần ít nhất: 41 thùng Câu 17. Gọi giá tiền của một chiếc bút là x (nghìn đồng) và giá tiền của một quyển vở là y (nghìn đồng). Theo đề bài ta có: 5x + 10y = 230 10x + 8y = 220 Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2 ta được: 10x + 20y = 460 Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai ta được: (10x + 20y) - (10x + 8y) = 460 - 220 12y = 240 y = 20 Thay y = 20 vào phương trình đầu tiên ta được: 5x + 10 × 20 = 230 5x + 200 = 230 5x = 30 x = 6 Vậy giá tiền của một chiếc bút là 6 nghìn đồng và giá tiền của một quyển vở là 20 nghìn đồng. Câu 18: Để chứng minh bốn điểm D, M, N, O cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp. 1. Xác định các góc vuông: - Ta có \(OM \perp AB\) tại \(M\), tức là \(\angle OMA = 90^\circ\). - Ta cũng có \(ON \perp AC\) tại \(N\), tức là \(\angle ONA = 90^\circ\). 2. Xác định các góc liên quan: - Vì \(AD\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\), nên \(\angle ADB = 90^\circ\). - \(AO\) là đường phân giác trong của \(\angle BAC\), do đó \(\angle OAM = \angle OAN\). 3. Tứ giác \(OMDN\) có các góc đối tổng bằng 180°: - Xét tứ giác \(OMDN\): - \(\angle OMA = 90^\circ\) - \(\angle ONA = 90^\circ\) - Tổng của hai góc này là \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). 4. Kết luận: - Vì tổng của hai góc đối trong tứ giác \(OMDN\) bằng \(180^\circ\), nên tứ giác \(OMDN\) là tứ giác nội tiếp. - Do đó, bốn điểm \(D\), \(M\), \(N\), \(O\) cùng nằm trên một đường tròn. Vậy, ta đã chứng minh được bốn điểm \(D\), \(M\), \(N\), \(O\) cùng nằm trên một đường tròn.